Question Number 57668 by maxmathsup by imad last updated on 09/Apr/19
$${let}\:{V}_{{n}} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \:\:\:\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:{dx}\:\: \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{V}_{{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{find}\:{nature}\:{of}\:{the}\:{serie}\:\Sigma\:{V}_{{n}} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 10/Apr/19
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{we}\:{have}\:{V}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \:\:\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \:\:\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:{dx}\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right\} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}}\:=_{\sqrt{\mathrm{2}}{x}\:=\sqrt{\mathrm{3}}{u}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:{du}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)} \:\:\frac{{du}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\left[{ln}\left({u}+\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)} \:={ln}\left(\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$${V}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right\}+{ln}\left\{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} {V}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right\}\:+{ln}\left\{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right\}\:. \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 10/Apr/19
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\Sigma\:{V}_{{n}} \:{diverges}\:{because}\:{lim}\:{V}_{{n}} \neq\mathrm{0}\:. \\ $$
Commented by Abdo msup. last updated on 10/Apr/19
$${V}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}{ln}\left\{\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{V}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right\}\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{5}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:. \\ $$