Question Number 124371 by bemath last updated on 02/Dec/20
$$\:\int\:\frac{{e}^{{x}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:{dx}\: \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 02/Dec/20
$$\int{e}^{{x}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{sin}^{\mathrm{2}} {x}}−\frac{{cosx}}{{sinx}}\right){dx} \\ $$$$=−{e}^{{x}} \frac{{cosx}}{{sinx}}=−{e}^{{x}} {cotx}+{C} \\ $$
Answered by liberty last updated on 02/Dec/20
$$\int\:\frac{\mathrm{2}{e}^{{x}} }{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:−\frac{{e}^{{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}\:{dx}\:= \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{2}{e}^{{x}} }{\mathrm{2sin}\:\:^{\mathrm{2}} {x}}\:−\:\frac{\mathrm{2}{e}^{{x}} \mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:{dx}\:= \\ $$$$\int\:\frac{{e}^{{x}} }{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:−\:\frac{{e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}\:{dx}\:=\: \\ $$$$\int\:{e}^{{x}} \left(\mathrm{cosec}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{cot}\:{x}\right)\:{dx}\:= \\ $$$$\int\:\frac{{d}}{{dx}}\:\left(−{e}^{{x}} \mathrm{cot}\:{x}\right)\:{dx}\:=\:−\int\:{d}\left({e}^{{x}} \mathrm{cot}\:{x}\right)\: \\ $$$$=\:−{e}^{{x}} \:\mathrm{cot}\:{x}\:+\:{c}\:. \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 03/Dec/20
$$\mathcal{I}=\int\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{sin2x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{cos2x}}\mathrm{dx}=\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left\{\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2sinxcosx}}{\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}−\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\right\}\mathrm{dx}=\int\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \centerdot\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \centerdot\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}+\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \centerdot\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx}−\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \centerdot\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \centerdot\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}+\mathcal{C}=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cotx}+\mathcal{C} \\ $$