Question Number 190129 by yaslm last updated on 27/Mar/23
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 28/Mar/23
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{P}_{{n}} \:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{statement}\:\mathrm{3}\mid\:{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{n}\:\forall{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{P}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n}=\mathrm{1}\:,\:{n}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{P}_{{n}} \:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n}\:\mathrm{and}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{also}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n}+\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{P}_{{n}+\mathrm{1}} =\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}+\mathrm{2}{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{n}\right)+\left(\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{n}\right)+\mathrm{3}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{3}\mid\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{n}\right)\:\mathrm{from}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{and}\:\mathrm{3}\mid\mathrm{3}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{thus}\:\mathrm{P}_{{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{true}. \\ $$