Question Number 190533 by TUN last updated on 05/Apr/23
Answered by witcher3 last updated on 05/Apr/23
![((arctan(x))/x)=∫^1 _0 (da/(1+a^2 x^2 )) ⇔Ω=∫_0 ^1 ((tan^(−1) (x))/(x(√(1−x^2 ))))dx=∫_0 ^1 ∫_0 ^1 (dx/(1+a^2 x^2 )).(da/( (√(1−x^2 )))) =∫_0 ^1 {∫_0 ^1 (dx/( (√(1−x^2 )).(1+a^2 x^2 )))da x=sin(t) =∫_0 ^1 ∫_0 ^(π/2) (dt/(1+a^2 sin^2 (t)))da ∫_0 ^(π/2) (dt/(1+a^2 sin^2 (t)))=(1/4)∫_0 ^(2π) (dt/(1+a^2 sin^2 (t)))=f(a) C={z∈C,∣z∣=1},e^(it) =z =(1/4)∫_0 ^(2π) (dt/(1+a^2 (((e^(2it) −1)/(2ie^(it) )))^2 )) =−∫_0 ^(2π) (e^(2it) /(a^2 e^(4it) −(2a^2 +4)e^(2it) +a^2 ))dt e^(2it) =z⇒e^(2it) dt=(dz/(2i)) =−2∫_C (dz/(2i(a^2 Z^2 −(2a^2 +4)z+a^2 ))) a^2 z^2 −(2a^2 +4)z+a^2 =0 z1=((2a^2 +4−4(√(a^2 +1)))/(2a^2 )), 0<z_1 <1,∀a∈]0,1] f(a)=.2iπRes(i(dz/(a^2 z^2 −(2a^2 +4)z+a^2 )),z=z_1 ) =(π/(2(√(a^2 +1)))) Ω=∫_0 ^1 (π/(2(√(1+a^2 ))))da=(π/2)∫_0 ^1 (da/( (√(1+a^2 ))))=(π/2)argsh(1)](https://www.tinkutara.com/question/Q190549.png)
$$\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{0}} {\int}^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{da}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{da}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }.\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{da}\right. \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}\mathrm{da} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{C}=\left\{\mathrm{z}\in\mathbb{C},\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}\right\},\mathrm{e}^{\mathrm{it}} =\mathrm{z} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2it}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2ie}^{\mathrm{it}} }\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2it}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{4it}} −\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2it}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{2it}} =\mathrm{z}\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{2it}} \mathrm{dt}=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{2i}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{C}} \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{2i}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{Z}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)\mathrm{z}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)\mathrm{z}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{z}\left.\mathrm{1}=\frac{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} },\:\:\:\mathrm{0}<\mathrm{z}_{\mathrm{1}} <\mathrm{1},\forall\mathrm{a}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\right] \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=.\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\mathrm{i}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)\mathrm{z}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} },\mathrm{z}=\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$ \\ $$$$\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{da}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{da}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{argsh}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$