Question Number 190677 by Shrinava last updated on 08/Apr/23
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{x}\:\in\:\mathbb{R} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{3}} \:,\:\mathrm{b}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{b}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{b}_{\mathrm{3}} \:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\boldsymbol{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:\mathrm{b}_{\mathrm{1}} ^{\boldsymbol{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:+\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ^{\boldsymbol{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:\mathrm{b}_{\mathrm{2}} ^{\boldsymbol{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:+\:\mathrm{a}_{\mathrm{3}} ^{\boldsymbol{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:\mathrm{b}_{\mathrm{3}} ^{\boldsymbol{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:\leqslant \\ $$$$\leqslant\:\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\:\mathrm{a}_{\mathrm{3}} \right)^{\boldsymbol{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \:\left(\mathrm{b}_{\mathrm{1}} +\:\mathrm{b}_{\mathrm{2}} +\:\mathrm{b}_{\mathrm{3}} \right)^{\boldsymbol{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}} \\ $$