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n-1-6-n-3-n-2-n-3-n-1-2-n-1-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 125256 by 676597498 last updated on 09/Dec/20
Σ_(n=1) ^∞ (6^n /((3^n −2^n )(3^(n+1) −2^(n+1) )))
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{6}^{{n}} }{\left(\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \right)\left(\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \right)} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Dec/20
let u_n =(6^n /((3^n −2^n )(3^(n+1) −2^(n+1) ))) ⇒u_n =((3^n .2^n )/(3^n (1−((2/3))^n )3^(n+1) (1−((2/3))^(n+1) ))) =(2^n /(3^(n+1) (1−((2/3))^n )(1−((2/3))^(n+1) )))=(1/3)×((((2/3))^n )/((1−((2/3))^n )(1−((2/3))^(n+1) ))) (x/((1−x)(1−(2/3)x))) =3((1/(1−x))−(1/(1−(2/3)x))) ⇒ u_n =3((1/(1−((2/3))^n ))−(1/(1−((2/3))^(n+1) )))=3(v_n −v_(n+1) ) with v_n =(1/(1−((2/3))^n )) ⇒ Σ_(k=1) ^n u_k =3 Σ_(k=1) ^n v_k −v_(k+1) =3{v_1 −v_2 +v_2 −v_3 +...+v_n −v_(n+1) } =3(v_1 −v_(n+1) ) =3((1/(1−(2/3)))−(1/(1−((2/3))^(n+1) ))) ⇒ lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n u_k =3(3−1) =6
$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{6}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \right)\left(\mathrm{3}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} .\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{3}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right)\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right)\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)}\:=\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{n}} −\mathrm{v}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{k}} =\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{v}_{\mathrm{k}} −\mathrm{v}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}\left\{\mathrm{v}_{\mathrm{1}} −\mathrm{v}_{\mathrm{2}} +\mathrm{v}_{\mathrm{2}} −\mathrm{v}_{\mathrm{3}} +…+\mathrm{v}_{\mathrm{n}} −\mathrm{v}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right\} \\ $$$$=\mathrm{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{1}} −\mathrm{v}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)\:=\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{k}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{6} \\ $$

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