Question Number 59764 by ANTARES VY last updated on 14/May/19
$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}}. \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{simplify}}. \\ $$
Answered by Kunal12588 last updated on 14/May/19
$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}}+\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{6}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}+\mathrm{6}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}}{\mathrm{9}−\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Kunal12588 last updated on 14/May/19
$${finding}\:{roots}\:{of}\:{surds}\: \\ $$$${of}\:{type}\:\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}} \\ $$$$\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}}=\sqrt{{m}}\pm\sqrt{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{a}\pm{b}=\left({m}+{n}\right)\pm\mathrm{2}\sqrt{{mn}} \\ $$$$\Rightarrow{m}+{n}={a}\:,\:\mathrm{4}{mn}={b} \\ $$$$\Rightarrow{m}−{n}=\sqrt{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{mn}}=\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}} \\ $$$$\Rightarrow{m}=\frac{{a}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}{\mathrm{2}}\:,\:{n}=\frac{{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\sqrt{{a}\pm\sqrt{{b}}}=\frac{\sqrt{{a}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}\pm\sqrt{{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${example} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}+\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}−\sqrt{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{3}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{14}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{14}+\sqrt{\mathrm{196}−\mathrm{27}}}−\sqrt{\mathrm{14}−\sqrt{\mathrm{196}−\mathrm{27}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$