Question Number 191484 by MATHEMATICSAM last updated on 24/Apr/23
$$\left({x}\:+\:\sqrt{\mathrm{1}\:+\:{x}^{\mathrm{2}} }\right)\left({y}\:+\:\sqrt{\mathrm{1}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\left({x}\:+\:{y}\right)^{\mathrm{2}} \:? \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 24/Apr/23
$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}+\sqrt{\left.\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{y}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}>\mathrm{0}….\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{x}\right)\Rightarrow\:\mathrm{withe}\:\mathrm{E}\:\mathrm{y}=−\mathrm{x} \\ $$
Answered by mr W last updated on 24/Apr/23
$${x}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }−{y} \\ $$$${x}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }=−{y}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(−{y}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow{x}=−{y}\: \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$