Question Number 191796 by mathlove last updated on 30/Apr/23
Commented by mathlove last updated on 01/May/23
$${pleas}\:{solve}\:{this} \\ $$
Answered by AST last updated on 01/May/23
![A) y^′ =(x^2 /( 2(√(x^2 +1))))+((√(x^2 +1))/2)+x+B B=(d/dx)[In(√(x+(√(x^2 +1))))]=(1/( (√(x+(√(x^2 +1))))))[(1/(2(√(x+(√(x^2 +1))))))(1+(x/( (√(x^2 +1)))))] =(1/(2(x+(√(x^2 +1)))))+(x/(2(√(x^2 +1))(x+(√(x^2 +1))))) ⇒B=((x+(√(x^2 +1)))/(2(√(x^2 +1))(x+(√(x^2 +1)))))=(1/(2(√(x^2 +1)))) ⇒y^′ =((x^2 +(x^2 +1)+2x(√(x^2 +1))+1)/(2(√(x^2 +1)))) y′=(((x^2 +x^2 +1+2x(√(x^2 +1))+1))/(2(√(x^2 +1)))) y′=((x^2 +x(√(x^2 +1))+1)/( (√(x^2 +1))))=(((x^2 +1)((√(x^2 +1))+x))/((x^2 +1))) ⇒y^′ =(√(x^2 +1))+x B)2y=x(√(x^2 +1))+x^2 +2In(√(x+(√(x^2 +1)))) xy^′ +Iny^′ =x(√(x^2 +1))+x^2 +In((√(x^2 +1))+x) =x(√(x^2 +1))+x^2 +((2In((√(x^2 +1))+x))/2) ⇒xy^′ +Iny′=x(√(x^2 +1))+x^2 +2In(√(x+(√(x^2 +1))))=2y](https://www.tinkutara.com/question/Q191823.png)
$$\left.{A}\right)\:{y}^{'} =\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\:\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}+{x}+{B} \\ $$$${B}=\frac{{d}}{{dx}}\left[{In}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)}+\frac{{x}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow{B}=\frac{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$\Rightarrow{y}^{'} =\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$${y}'=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$${y}'=\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow{y}^{'} =\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{B}\right)\mathrm{2}{y}={x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{In}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$${xy}^{'} +{Iny}^{'} ={x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}^{\mathrm{2}} +{In}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}\right) \\ $$$$={x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}{In}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{xy}^{'} +{Iny}'={x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{In}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\mathrm{2}{y} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 01/May/23
$${thanks} \\ $$
Answered by manxsol last updated on 01/May/23
$${y}=\frac{{x}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}\right. \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({xz}+{lnz}\right)\:\:\:{z}=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x} \\ $$$${z}'=\mathrm{1}+\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\frac{{z}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$${z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({z}+{xz}'+\frac{{z}'}{{z}}\right) \\ $$$${y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({z}+{x}\frac{{z}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right) \\ $$$${y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{{z}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right) \\ $$$${y}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right) \\ $$$${y}'=\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+{x} \\ $$$${y}'=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}={z} \\ $$$$\left.{b}\right) \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({xz}+{lnz}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{y}={xy}'+{lny}'\:\: \\ $$$$ \\ $$