Question Number 126510 by benjo_mathlover last updated on 21/Dec/20
$$\:\int\:\frac{{dx}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}}\:? \\ $$
Answered by liberty last updated on 21/Dec/20
Answered by Ar Brandon last updated on 21/Dec/20
$$\mathcal{I}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{8}}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}=\mathrm{u}\:\Rightarrow\:−\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{du}\:\Rightarrow\:\mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}+\mathrm{2},\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{u}}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathcal{I}=−\int\frac{\mathrm{u}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{u}}+\mathrm{20}}}\centerdot\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:=−\int\frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{8u}+\mathrm{20u}^{\mathrm{2}} }}=\mp\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{20}}}\int\frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2u}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}}} \\ $$$$\:\:\:=\mp\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{20}}}\int\frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{100}}}} \\ $$$$\:\:\:=\mp\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{20}}}\mathrm{ln}\mid\left(\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)+\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2u}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}}\mid+{C} \\ $$$$\:\:\:=\mp\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{20}}}\mathrm{ln}\mid\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)+\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{8}}{\mathrm{20}}}\mid+{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Dec/20
$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{8}}}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}} \\ $$$$=_{\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{2sht}} \:\:\:\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{2ch}\left(\mathrm{t}\right)}{\left(\mathrm{2sht}−\mathrm{4}\right)\mathrm{2cht}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{sht}−\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}\:=\int\:\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} −\mathrm{4}}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} −\mathrm{4}\right)} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{4z}}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4z}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{4}+\mathrm{1}=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{5}}\:\Rightarrow\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dz}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}}\mid\:+\mathrm{C}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{t}\:=\mathrm{argsh}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 21/Dec/20
$$\int\frac{{dx}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{{x}+\mathrm{2}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}}{\mathrm{2}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}}{{x}+\mathrm{2}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}}\right] \\ $$$$=\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{t}−\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{10}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{5}}}−\frac{\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}}\right){dt}= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{10}}\mathrm{ln}\:\frac{{t}−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{5}}}{{t}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{10}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\left({x}+\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}}{{x}−\mathrm{2}}\mid\:+{C} \\ $$