Question Number 192233 by gatocomcirrose last updated on 12/May/23
$$\mathrm{show}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{n}\in\mathrm{N}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{1}^{\mathrm{5}} +…+\mathrm{n}^{\mathrm{5}} \right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\mathrm{1}^{\mathrm{3}} +…+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by Frix last updated on 12/May/23
$${S}_{\mathrm{5}} =\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:{j}^{\mathrm{5}} \:=\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{12}} \\ $$$${S}_{\mathrm{3}} =\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:{j}^{\mathrm{3}} \:=\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{S}_{\mathrm{5}} }{{S}_{\mathrm{3}} }=\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}−\mathrm{1} \\ $$