Question Number 192437 by MATHEMATICSAM last updated on 18/May/23
$$\frac{\mathrm{1}}{{a}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{b}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{c}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{a}\:+\:{b}\:+\:{c}}\:.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{5}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{5}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{5}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{5}} \:+\:{b}^{\mathrm{5}} \:+\:{c}^{\mathrm{5}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\left({a}\:+\:{b}\:+\:{c}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$
Answered by Frix last updated on 18/May/23
$$\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}+{b}+{c}} \\ $$$$\mathrm{Transforming} \\ $$$$\left({a}+{b}\right)\left({a}+{c}\right)\left({b}+{c}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{Only}\:\mathrm{true}\:\mathrm{if}\:{a}=−{b}\vee{a}=−{c}\vee{b}=−{c} \\ $$$$\mathrm{Because}\:\mathrm{of}\:\mathrm{symmetry}\:\mathrm{let}\:{b}=−{c} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}+{b}+{c}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +{b}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +{c}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({a}+{b}+{c}\right)^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }\:\forall{n}\in\mathbb{N} \\ $$