Question Number 192458 by Mingma last updated on 18/May/23
Answered by Frix last updated on 19/May/23
![log_(x+(7/2)) (((x+7)/(2x+3)))^2 =((ln (((x+7)/(2x+3)))^2 )/(ln (x+(7/2))))= =((2(ln ∣x+7∣ −ln ∣2x+3∣))/(ln (2x+7) −ln 2))≥0 ((ln ∣x+7∣ −ln ∣2x+3∣)/(ln (2x+7) −ln 2))≥0 2x+7>0 ⇔ x>−(7/2) ln (2x+7) −ln 2 ≠0 ⇔ x≠−(5/2) [1] ln (2x+7) −ln 2 <0 −(7/2)<x<−(5/2); x∈Z ⇒ x=−3 Testing ln ∣x+7∣ −ln ∣2x+3∣≤0 ln 4 −ln 3 ≤0 wrong [2] ln (2x+7) −ln 2 >0 x>−(5/2) ln ∣x+7∣ −ln ∣2x+3∣≥0 ln ∣x+7∣ ≥ln ∣2x+3∣ x≠−7∧x≠−(3/2) ⇒ −((10)/3)≤x≤4 x∈Z ⇒ x∈{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} 8 integer solutions](https://www.tinkutara.com/question/Q192500.png)
$$\mathrm{log}_{{x}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}} \:\left(\frac{{x}+\mathrm{7}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:=\frac{\mathrm{ln}\:\left(\frac{{x}+\mathrm{7}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{ln}\:\left({x}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right)}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{7}\mid\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\mid\right)}{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}\right)\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{7}\mid\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\mid}{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}\right)\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}>\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{x}>−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}\right)\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:\neq\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{x}\neq−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left[\mathrm{1}\right] \\ $$$$\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}\right)\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:<\mathrm{0} \\ $$$$−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}<{x}<−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}};\:{x}\in\mathbb{Z}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Testing} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{7}\mid\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\mid\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{4}\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\:\leqslant\mathrm{0}\:\mathrm{wrong} \\ $$$$\left[\mathrm{2}\right] \\ $$$$\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{7}\right)\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:>\mathrm{0} \\ $$$${x}>−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{7}\mid\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{7}\mid\:\geqslant\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\mid \\ $$$${x}\neq−\mathrm{7}\wedge{x}\neq−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{4} \\ $$$${x}\in\mathbb{Z}\:\Rightarrow\:{x}\in\left\{−\mathrm{3},\:−\mathrm{2},\:−\mathrm{1},\:\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\mathrm{2},\:\mathrm{3},\:\mathrm{4}\right\} \\ $$$$\mathrm{8}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{solutions} \\ $$
Commented by Mingma last updated on 19/May/23
Perfect ��