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Question-192469

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 192469 by Mingma last updated on 18/May/23
Answered by a.lgnaoui last updated on 19/May/23
△ABC triangle isocele AB=AC donc ∡B=∡C=90−((78)/2)=51° ((sin 78)/(BC))=((sin 51)/(AC)) (1) △ABD AB=BD ∡CAD=A_1 ((sin x)/(AD))=((sin( 78−A_1 ))/(BD)) BDsin x=ADsin (78−A_1 ) BD=((ADsin (78−A_1 ))/(sin x)) (2) △ACD ∡C=∡B=51 ∡ADC=51−30=21 ⇒ ((sin 21)/(AD))=((sin A_1 )/(CD))=((sin (180−21−A_1 ))/(AC)) =((sin(15 9−A_1 ))/(AC)) ADsin A_1 =CDsin 21 (3) (1) (2)⇒ △BCD ∡DBC=51−x ((sin (51−x))/(CD))=((sin 30)/(BD)) BD=((CDsin 30)/(sin (51−x))) (2)⇒ ((CDsin 30)/(sin (51−x)))=((ADsin (78−A))/(sin x)) dapres (3) AD sin A=CDsin 21 CD=((ADsin A)/(sin 21)) (5) ((sin Asin 30)/(sin 21.sin (51−x)))=((sin (78−A))/(sin x)) △ABD ∡BDA=∡BAD=78−A_1 ⇒x+2(78−A_1 )=180 x_1 +156−2A_1 =180 A_1 =(x/2)−12 ⇒ 78−A_1 =90−(x/2) sin (78−A_1 )=cos (x/2) Equation est sinx.cos((x/2)−12)sin 30=cos (x/2).sin (51−x)sin 21 (1/2) sin x(cos (x/2)cos 12+sin (x/2)sin 12= =sin 21(cos (x/2))(sin 51.cos x−cos 51sin x) divisons les 2 memvees par cos (x/2) (1/2)sin x.cos 12+tan (x/2)sin 12= =sin 21(sin 51cos x−cos 51sin x) posons t=tan (x/2) sin x= ((2t)/(1+t^2 )) cos x=((1−t^2 )/(1+t^2 )) (t/(1+t^2 ))cos 12+tsin 12=sin 21(sin 51(((1−t^2 )/(1+t^2 )))−cos 51((2t)/(1+t^2 ))) ((cos 12.t)/(1+t^2 ))+((sin 12(t(1+t^2 ))/(1+t^2 ))=((sin 21.sin 51(1−t^2 ))/(1+t^2 ))−((2sin 21sin 51t)/(1+t^2 )) ((sin 12.t^3 +(sin 21.sin 51)t^2 +(sin 12+cos 12+2sin 21cos 51)t−sin 21.sin 51)/(1+t^2 ))=0 sin 12=0,2079117 cos 12=0,9781476 sin 51=0,777146 cos 51=0,629320 sin 21=0,35836 0,2079117 t^3 +0,278504 t^2 + 0,663613t+0,278504=0 la resolutiin donne (x/2)=tan^(−1) (0,734) soit x=72,5°
$$\bigtriangleup\mathrm{ABC}\:\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{isocele}\:\:\mathrm{AB}=\mathrm{AC} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\:\measuredangle\mathrm{B}=\measuredangle\mathrm{C}=\mathrm{90}−\frac{\mathrm{78}}{\mathrm{2}}=\mathrm{51}° \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{78}}{\boldsymbol{\mathrm{BC}}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{51}}{\boldsymbol{\mathrm{AC}}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bigtriangleup\mathrm{ABD}\:\:\:\:\mathrm{AB}=\mathrm{BD}\:\:\:\measuredangle\mathrm{CAD}=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\boldsymbol{\mathrm{AD}}}=\frac{\mathrm{sin}\left(\:\mathrm{78}−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right)}{\boldsymbol{\mathrm{BD}}}\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{BDsin}\:\mathrm{x}=\mathrm{ADsin}\:\left(\mathrm{78}−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{BD}}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{AD}}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{78}−\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\bigtriangleup\mathrm{ACD}\:\:\:\measuredangle\mathrm{C}=\measuredangle\mathrm{B}=\mathrm{51}\:\:\:\measuredangle\mathrm{ADC}=\mathrm{51}−\mathrm{30}=\mathrm{21} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{21}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{C}\boldsymbol{\mathrm{D}}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{180}−\mathrm{21}−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{AC}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{15}\:\mathrm{9}−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{AC}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{AD}}\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} =\boldsymbol{\mathrm{CD}}\mathrm{sin}\:\mathrm{21}\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\:\:\: \\ $$$$\bigtriangleup\mathrm{BCD}\:\:\:\measuredangle\mathrm{DBC}=\mathrm{51}−\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{51}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{30}}{\boldsymbol{\mathrm{BD}}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{BD}}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{CD}}\mathrm{sin}\:\mathrm{30}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{51}−\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{CD}}\mathrm{sin}\:\mathrm{30}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{51}−\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{AD}}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{78}−\boldsymbol{\mathrm{A}}\right)}{\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{d}}\mathrm{apres}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{AD}}\:\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}=\boldsymbol{\mathrm{CD}}\mathrm{sin}\:\mathrm{21} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{CD}}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{AD}}\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{21}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}\mathrm{sin}\:\mathrm{30}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{21}.\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{51}−\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{78}−\boldsymbol{\mathrm{A}}\right)}{\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bigtriangleup\mathrm{ABD}\:\:\measuredangle\mathrm{BDA}=\measuredangle\mathrm{BAD}=\mathrm{78}−\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{2}\left(\mathrm{78}−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{180} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{156}−\mathrm{2A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{180}\:\:\:\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{12}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{78}−\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{90}−\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{78}−\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{cos}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Equation}}\:\boldsymbol{\mathrm{est}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{sinx}}.\boldsymbol{\mathrm{cos}}\left(\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}−\mathrm{12}\right)\boldsymbol{\mathrm{sin}}\:\mathrm{30}=\boldsymbol{\mathrm{cos}}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}.\boldsymbol{\mathrm{sin}}\:\left(\mathrm{51}−\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\boldsymbol{\mathrm{sin}}\:\mathrm{21} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{12}+\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{12}=\right. \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\mathrm{21}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{51}.\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{51sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{diviso}\boldsymbol{\mathrm{n}}\mathrm{s}\:\:\mathrm{les}\:\mathrm{2}\:\mathrm{memvees}\:\mathrm{pa}\boldsymbol{\mathrm{r}}\:\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{x}.\mathrm{cos}\:\mathrm{12}+\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{12}= \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\mathrm{21}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{51cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{51sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{posons}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{t}}=\mathrm{tan}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\:\mathrm{12}+\boldsymbol{\mathrm{t}}\mathrm{sin}\:\mathrm{12}=\mathrm{sin}\:\mathrm{21}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{51}\left(\frac{\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{cos}\:\mathrm{51}\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{12}.\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}\left(\boldsymbol{\mathrm{t}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} \right)\right.}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{21}.\mathrm{sin}\:\mathrm{51}\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2sin}\:\mathrm{21sin}\:\mathrm{51}\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}.\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{21}.\mathrm{sin}\:\mathrm{51}\right)\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{12}+\mathrm{cos}\:\mathrm{12}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{21cos}\:\mathrm{51}\right)\boldsymbol{\mathrm{t}}−\mathrm{sin}\:\mathrm{21}.\mathrm{sin}\:\mathrm{51}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{12}=\mathrm{0},\mathrm{2079117}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{12}=\mathrm{0},\mathrm{9781476} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{51}=\mathrm{0},\mathrm{777146}\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{51}=\mathrm{0},\mathrm{629320} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{21}=\mathrm{0},\mathrm{35836} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{0},\mathrm{2079117}\:\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{0},\mathrm{278504}\:\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} +\:\mathrm{0},\mathrm{663613}\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{0},\mathrm{278504}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{la}\:\:\mathrm{re}\boldsymbol{\mathrm{solutiin}}\:\boldsymbol{\mathrm{donne}}\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0},\mathrm{734}\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\mathrm{72},\mathrm{5}° \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 19/May/23
Answered by HeferH last updated on 19/May/23
Commented by Mingma last updated on 21/May/23
Perfect ��

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