Question Number 127012 by Algoritm last updated on 26/Dec/20
Answered by Olaf last updated on 26/Dec/20
$$\begin{cases}{{y}_{\mathrm{1}} '\:=\:{y}_{\mathrm{1}} +{y}_{\mathrm{2}} +\:{x}\:\left(\mathrm{1}\right)}\\{{y}_{\mathrm{2}} '\:=\:{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}{y}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\:\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:{y}_{\mathrm{2}} \:=\:{y}_{\mathrm{1}} '−{y}_{\mathrm{1}} −{x}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$${y}_{\mathrm{2}} '\:=\:{y}_{\mathrm{1}} ''−{y}_{\mathrm{1}} '−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\::\:{y}_{\mathrm{1}} ''−{y}_{\mathrm{1}} '−\mathrm{1}\:=\:{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}\left({y}_{\mathrm{1}} '−{y}_{\mathrm{1}} −{x}\right)+\mathrm{2}{x} \\ $$$${y}_{\mathrm{1}} ''+{y}_{\mathrm{1}} '−\mathrm{2}{y}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{1}+\mathrm{4}{x} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}_{\mathrm{1}} \:=\:{ae}^{{x}} +{be}^{−\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}_{\mathrm{1}} '\:=\:{ae}^{{x}} −\mathrm{2}{be}^{−\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\::\:{y}_{\mathrm{2}} \:=\:{ae}^{{x}} −\mathrm{2}{be}^{−\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}−{ae}^{{x}} −{be}^{−\mathrm{2}{x}} +\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$$${y}_{\mathrm{2}} \:=\:−\mathrm{3}{be}^{−\mathrm{2}{x}} +\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$