Question Number 192597 by York12 last updated on 22/May/23
$${a}_{\mathrm{1}\:} \:,\:{a}_{\mathrm{2}} \:,\:{a}_{\mathrm{3}\:} \:,\:….\:,\:{a}_{{n}} \:{is}\:{a}\:{sequence}\:{satifies}\:{that} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{2}} ={a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}} \:{for}\:{n}\:\geq\:\mathrm{1}.\:{suppose}\:{the}\:{sum}\: \\ $$$${of}\:{the}\:{first}\:\mathrm{999}\:{terms}\:=\:\mathrm{1003}\:{and}\:{the}\:{sum} \\ $$$${of}\:{the}\:{first}\:\mathrm{1003}\:{terms}\:=\:−\mathrm{999}\:{find}\:{the}\: \\ $$$${sum}\:{of}\:{the}\:{first}\:\mathrm{2002}\:{terms}. \\ $$
Answered by MM42 last updated on 22/May/23
$${a}_{\mathrm{4}} ={a}_{\mathrm{3}} −{a}_{\mathrm{2}} =−{a}_{\mathrm{1}} \:\:\&\:\:{a}_{\mathrm{5}} ={a}_{\mathrm{4}} −{a}_{\mathrm{3}} =−{a}_{\mathrm{2}} \:\:\:\&\:\:{a}_{\mathrm{6}} ={a}_{\mathrm{5}} −{a}_{\mathrm{4}} =−{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{1}} ={a}_{\mathrm{1}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{2}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{3}} ={a}_{\mathrm{3}} \\ $$$${a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{4}} =−{a}_{\mathrm{1}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{5}} =−{a}_{\mathrm{2}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}} =−{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{999}=\mathrm{6}×\mathrm{166}+\mathrm{3}\Rightarrow{S}_{\mathrm{999}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1003}\Rightarrow{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{501}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{1003}=\mathrm{6}×\mathrm{167}+\mathrm{1}\Rightarrow{S}_{\mathrm{1003}} ={a}_{\mathrm{1}} \Rightarrow{a}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{999} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{1500}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{2002}=\mathrm{6}×\mathrm{336}+\mathrm{4}\Rightarrow{S}_{\mathrm{2002}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +{a}_{\mathrm{4}} ={a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2002} \\ $$
Commented by York12 last updated on 22/May/23
$${a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{501}.\mathrm{5} \\ $$$${s}_{\mathrm{2002}} =\mathrm{999}+\mathrm{2}×\mathrm{501}.\mathrm{5}=\mathrm{2002} \\ $$$$ \\ $$
Commented by York12 last updated on 22/May/23
$$ \\ $$$$ \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} ={a}_{\mathrm{3}} −{a}_{\mathrm{2}} =−{a}_{\mathrm{1}} \:\:\&\:\:{a}_{\mathrm{5}} ={a}_{\mathrm{4}} −{a}_{\mathrm{3}} =−{a}_{\mathrm{2}} \:\:\:\&\:\:{a}_{\mathrm{6}} ={a}_{\mathrm{5}} −{a}_{\mathrm{4}} =−{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{1}} =\:{a}_{\mathrm{1}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{2}} =\:{a}_{\mathrm{2}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{3}} =\:{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$${a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{4}} =\:−{a}_{\mathrm{1}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}+\mathrm{5}} =−{a}_{\mathrm{2}} \:\&\:{a}_{\mathrm{6}{k}} =\:−{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{999}=\mathrm{6}×\mathrm{166}+\mathrm{3}\Rightarrow{S}_{\mathrm{999}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1003}\Rightarrow{a}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{501}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{1003}=\mathrm{6}×\mathrm{167}+\mathrm{1}\Rightarrow{S}_{\mathrm{1003}} ={a}_{\mathrm{1}} \Rightarrow{a}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{999} \\ $$$$\Rrightarrow{a}_{\mathrm{3}} =\:\mathrm{1500}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{2002}=\mathrm{6}×\mathrm{336}+\mathrm{4}\Rightarrow{S}_{\mathrm{2002}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +{a}_{\mathrm{4}} ={a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2002} \\ $$$$ \\ $$