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calculus-2-evaluate-n-0-2-n-1-2-2-n-

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Question Number 128489 by mnjuly1970 last updated on 07/Jan/21
... calculus (2) ... evaluate :: Σ_(n=0) ^∞ ((2^n /(1+2^2^n )) )=?
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…\:{calculus}\:\:\:\left(\mathrm{2}\right)\:… \\ $$$$\:\:\:\:{evaluate}\:::\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }\:\right)=? \\ $$$$ \\ $$
Answered by mindispower last updated on 07/Jan/21
(1/(1−x^2 ))=(1/2)((1/(1−x))+(1/(1+x))) ⇒(2/(1−x^2 ))−(1/(1−x))=(1/(1+x)) x=2^2^n ⇒x^2 =2^2^(n+1) ⇔(2/(1−2^2^(n+1) ))−(1/(1−2^2^n ))=(1/(1+2^2^n )) ⇔((2.2^n )/(1−2^2^(n+1) ))−(2^n /(1−2^2^n ))=(2^n /(1+2^2^n )) ⇔(2^(n+1) /(1−2^2^(n+1) ))−(2^n /(1−2^2^n ))=(2^n /(1+2^2^n )) let V_n =(2^n /(1−2^2^n )) (2^n /(1+2^2^n ))=V_(n+1) −V_n Σ_(n≥0) ^m (2^n /(1+2^2^n ))=Σ_(n≥0) ^m V_(n+1) −V_n =V_(m+1) −V_0 ...E lim_(m→∞) (2^m /(1+2^2^m ))=lim_(x→∞) (x/(1+2^x ))→0 ⇒lim_(m→∞) Σ_(n≥0) ^m (2^n /(1+2^2^n ))=Σ_(n≥0) (2^n /(1+2^2^n ))=−V_0 =−(1/(1−2^1 ))=1 S=1
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\right)\: \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}} \\ $$$${x}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } \Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \:}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } } \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}.\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } }−\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }=\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } } \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } }−\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }=\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } } \\ $$$${let}\:{V}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } } \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }={V}_{{n}+\mathrm{1}} −{V}_{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}{V}_{{n}+\mathrm{1}} −{V}_{{n}} ={V}_{{m}+\mathrm{1}} −{V}_{\mathrm{0}} …{E} \\ $$$$\underset{{m}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}^{{m}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{m}} } }=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{{x}} }\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{m}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }=−{V}_{\mathrm{0}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }=\mathrm{1} \\ $$$${S}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 08/Jan/21
nice very nice..
$${nice}\:{very}\:{nice}.. \\ $$

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