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Question-128910

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Question Number 128910 by shaker last updated on 11/Jan/21
Answered by bramlexs22 last updated on 11/Jan/21
lim_(x→2) ((x^n −2^n −nx.2^(n−1) +n.2^n )/((x−2)^2 ))= lim_(x→2) ((nx^(n−1) −n.2^(n−1) )/(2(x−2)))= lim_(x→2) ((n.(n−1)x^(n−2) )/2)=((n(n−1)2^(n−2) )/2) = n(n−1).2^(n−3)
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{nx}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{n}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{n}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)}= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{n}.\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right).\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jan/21
f(x)=((x^n −2^n −n2^(n−1) (x−2))/((x−2)^2 )) we do the changement x−2=t ⇒ f(x)=g(t)=(((t+2)^n −2^n −n2^(n−1) t)/t^2 ) =((Σ_(k=0) ^n C_n ^k t^k 2^(n−k) −2^n −n2^(n−1) t)/t^2 ) =((2^n +n2^(n−1) t +Σ_(k=2) ^n C_n ^k t^k 2^(n−k) −2^n −n2^(n−1) t)/t^2 ) =Σ_(k=2) ^n C_n ^k t^(k−2) 2^(n−k) (k−2=i) =Σ_(i=0) ^(n−2) C_n ^(i+2) t^i 2^(n−i−2) (x→2 ⇒t→0) =C_n ^2 2^(n−2) +C_n ^3 t 2^(n−3) +..... ⇒ lim_(x→2) f(x)=lim_(t→0) g(t)=2^(n−2) C_n ^2 =2^(n−2) ×((n!)/((n−2)!2!)) =2^(n−2) ×((n(n−1))/2) =n(n−1)2^(n−3)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{n2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{t}\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \:\:\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}=\mathrm{i}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{i}+\mathrm{2}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{i}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{i}−\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{3}} \:\mathrm{t}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} \:+…..\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \:\:=\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} ×\frac{\mathrm{n}!}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)!\mathrm{2}!} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} ×\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{3}} \\ $$

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