Question Number 64651 by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/19
$${calculate}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} {kC}_{{n}} ^{{k}} \:\mathrm{3}^{{k}} \:\:{interms}\:{of}\:{n} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/19
$${let}\:{p}\left({x}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \:\:\:\:\:\:{we}\:{have}\:{p}\left({x}\right)=\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} \:\:\:{and} \\ $$$${p}^{'} \left({x}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\:{xp}^{'} \left({x}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \\ $$$${x}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{3}{p}^{'} \left(\mathrm{3}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\mathrm{3}^{{k}} \:\:\:\:\:\:{but}\:{p}^{'} \left({x}\right)={n}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$${p}^{'} \left(\mathrm{3}\right)\:={n}\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{kC}_{{n}} ^{{k}} \:\mathrm{3}^{{k}} \:=\mathrm{3}{n}\:\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{1}} \:. \\ $$
Answered by mr W last updated on 20/Jul/19
$$\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{n}} ^{{k}} {x}^{{k}} \\ $$$${n}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{kC}_{{n}} ^{{k}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$${n}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {x}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{kC}_{{n}} ^{{k}} {x}^{{k}} \\ $$$${with}\:{x}=\mathrm{3}: \\ $$$${n}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \mathrm{3}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{kC}_{{n}} ^{{k}} \mathrm{3}^{{k}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{kC}_{{n}} ^{{k}} \mathrm{3}^{{k}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{kC}_{{n}} ^{{k}} \mathrm{3}^{{k}} =\mathrm{3}{n}\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/19
$${thank}\:{you}\:{sir}\:{mrw} \\ $$