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f-x-ax-3-bx-2-c-f-x-3ax-2-2bx-f-0-2-a-0-3-b-0-2-c-2-c-2-f-2-2-f-2-0-a-2-3-b-2-2-2-2-3a-2-2-2b-2-0-8a-4b-4-12a-4b-0-8a-12a-4b-4b-4-4a-

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Question Number 130331 by ayoubbacmath0 last updated on 24/Jan/21
f(x)=ax^3 +bx^2 +c f ′(x)=3ax^2 +2bx f(0)=−2 ⇒a(0)^3 +b(0)^2 +c=−2 ⇒c=−2 f(−2)=2 f ′(−2)=0 ⇒ { ((a(−2)^3 +b(−2)^2 −2=2)),((3a(−2)^2 +2b(−2)=0)) :} ⇒ { ((−8a+4b=4)),((12a−4b=0)) :} −8a+12a+4b−4b=4 ⇒4a=4 ⇒a=1 −8a+4b=4 ⇒b=1+2a ⇒b=1+2 ⇒b=3 f(x)=x^3 +3x^2 −2 f ′(x)=3x^2 +6x f(0)=(0)^3 +3(0)^2 −2=−2 vrai f(−2)=(−2)^3 +3(−2)^2 −2=−8+12−2=2 vrai f ′(−2)=3(−2)^2 +6(−2)=12−12=0 vrai
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={a}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3}{a}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2bx} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{a}\left(\mathrm{0}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{0}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{{a}\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} +{b}\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{2}}\\{\mathrm{3}{a}\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{b}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{−\mathrm{8}{a}+\mathrm{4}{b}=\mathrm{4}}\\{\mathrm{12}{a}−\mathrm{4}{b}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$−\mathrm{8}{a}+\mathrm{12}{a}+\mathrm{4}{b}−\mathrm{4}{b}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}{a}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{8}{a}+\mathrm{4}{b}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{1}+\mathrm{2}{a} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{1}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\left(\mathrm{0}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{0}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\mathrm{vrai} \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=−\mathrm{8}+\mathrm{12}−\mathrm{2}=\mathrm{2}\:\:\:\:\mathrm{vrai} \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{12}−\mathrm{12}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\mathrm{vrai} \\ $$

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