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f-x-2x-1-x-2-2x-3-Domain-D-f-




Question Number 130362 by greg_ed last updated on 24/Jan/21
f(x)=((2x+1)/( (√(x^2 −∣2x−3∣))))  Domain D_f  = ?
$$\mathrm{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\mid}} \\ $$$$\mathrm{Domain}\:\mathrm{D}_{\mathrm{f}} \:=\:? \\ $$
Answered by ajfour last updated on 24/Jan/21
x^2 >∣2x−3∣  let  x≥(3/2)  &    x^2 −2x+3>0  ⇒  (x−1)^2 +2 >0  ⇒   x∈[(3/2),∞)       and if x<(3/2)     x^2 +2x−3 > 0     (x+1)^2 >4       x<−3 or   x> 1  ⇒  x∈(−∞,−3)∪(1,(3/2))  ⇒  x∈R−[−3,1]
$${x}^{\mathrm{2}} >\mid\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\mid \\ $$$${let}\:\:{x}\geqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\&\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:{x}\in\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},\infty\right)\:\:\:\:\: \\ $$$${and}\:{if}\:{x}<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} >\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}<−\mathrm{3}\:{or}\:\:\:{x}>\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{x}\in\left(−\infty,−\mathrm{3}\right)\cup\left(\mathrm{1},\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:{x}\in\mathbb{R}−\left[−\mathrm{3},\mathrm{1}\right] \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Jan/21
f(x)=((2x+1)/( (√(x^2 −∣2x−3∣))))  x             −∞                   (3/2)              +∞  ∣2x−3∣              −2x+3  0   2x−3  f(x)             ((2x+1)/( (√(x^2 +2x−3))))...    ((2x+1)/( (√(x^2 −2x+3))))  case1 x<(3/2) ⇒f(x)=((2x+1)/( (√(x^2  +2x−3))))  x∈D_f  ⇔x^2  +2x−3>0 ⇔x^2 +2x+1−4>0 ⇒(x+1)^2 −4>0 ⇒  (x+1−2)(x+1+2)>0 ⇒(x−1)(x+3)>0  ⇒x∈]−∞,−3[∪]1,+∞[ ⇒  D_f =]−∞,−3[∪]1,(3/2)[  case 2  x≥(3/2) ⇒f(x)=((2x+1)/( (√(x^2 −2x+3))))  x∈D_f  ⇔ x^2 −2x+3>0 ⇒(x−1)^2  +2>0  ⇒D_f =[(3/2),+∞[
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{2x}−\mathrm{3}\mid}} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mid\mathrm{2x}−\mathrm{3}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2x}+\mathrm{3}\:\:\mathrm{0}\:\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{3}}}…\:\:\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{case1}\:\mathrm{x}<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{x}\in\mathrm{D}_{\mathrm{f}} \:\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{3}>\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{4}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}>\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)>\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\right]−\infty,−\mathrm{3}\left[\cup\right]\mathrm{1},+\infty\left[\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\left.\mathrm{D}_{\mathrm{f}} =\right]−\infty,−\mathrm{3}\left[\cup\right]\mathrm{1},\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left[\right. \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{x}\in\mathrm{D}_{\mathrm{f}} \:\Leftrightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\mathrm{D}_{\mathrm{f}} =\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},+\infty\left[\right.\right. \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 25/Jan/21
f(x)=((2x+1)/( (√(x^2 −∣2x−3∣))))  (1) 2x+1=0 ⇔ x=−(1/2) ⇒ f(x)=0  (2) x^2 −∣2x−3∣>0 ⇒ x<−3∨1<x  ⇒  D_f ={x∈R∣x<−3∨1<x∨x=−(1/2)}
$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\mid}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\mid>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}<−\mathrm{3}\vee\mathrm{1}<{x} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${D}_{{f}} =\left\{{x}\in\mathbb{R}\mid{x}<−\mathrm{3}\vee\mathrm{1}<{x}\vee{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$

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