Question Number 130529 by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21
$$\mathrm{calvulste}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{3}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Jan/21
![A =∫_0 ^(2π) ((cos(2x))/(3+cosx))dx ⇒A =∫_0 ^(2π) ((2cos^2 x−1)/(cosx +3))dx let decompose F(u) =((2u^2 −1)/(u+3)) ⇒F(u) =((2(u^2 −9)+18−1)/(u+3)) =2(u−3)+((17)/(u+3)) ⇒A =∫_0 ^(2π) (2cosx−6)dx+17 ∫_0 ^(2π) (dx/(cosx +3)) =−12π +[2sinx]_0 ^(2π) +17Φ =17Φ−12π Φ=∫_0 ^(2π) (dx/(cosx+3)) =_(e^(ix) =z) ∫_(∣z∣=1) (dz/(iz(((z+z^(−1) )/2)+3))) =∫_(∣z∣=1) ((2dz)/(iz(z+z^(−1) +6))) =−2i∫_(∣z∣) (dz/(z^2 +1+6z)) =∫ ((−2idz)/(z^2 +6z+1)) ϕ(z)=((−2i)/(z^2 +6z +1)) poles of ϕ? Δ^′ =9−1=8 ⇒z_1 =−3+2(√2) and z_2 =−3−2(√2)and ϕ(2)=((−2i)/((z−z_1 )(z−z_2 ))) ∣z_1 ∣−1 =∣−3+2(√2)∣−1 =3−2(√2)−1 =2−2(√2)<0 ⇒∣z_1 ∣<1 ∣z_2 ∣>1 (out of circle) ⇒∫_(∣z∣=1) ϕ(z)dz =2iπ Res(ϕ,z_1 ) =2iπ×((−2i)/(z_1 −z_2 )) =((4π)/(4(√2))) =(π/( (√2))) ⇒Φ =(π/( (√2))) ⇒ A =((17π)/( (√2)))−12π =(((17)/( (√2)))−12)π](https://www.tinkutara.com/question/Q130668.png)
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{3}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}\:+\mathrm{3}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{u}+\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}\right)+\mathrm{18}−\mathrm{1}}{\mathrm{u}+\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{u}−\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{u}+\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \left(\mathrm{2cosx}−\mathrm{6}\right)\mathrm{dx}+\mathrm{17}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{cosx}\:+\mathrm{3}} \\ $$$$=−\mathrm{12}\pi\:+\left[\mathrm{2sinx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:+\mathrm{17}\Phi\:=\mathrm{17}\Phi−\mathrm{12}\pi \\ $$$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{cosx}+\mathrm{3}}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}} \:\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}\left(\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{2dz}}{\mathrm{iz}\left(\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{6}\right)}\:=−\mathrm{2i}\int_{\mid\mathrm{z}\mid} \:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}+\mathrm{6z}}\:=\int\:\frac{−\mathrm{2idz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6z}+\mathrm{1}} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{−\mathrm{2i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6z}\:+\mathrm{1}}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{9}−\mathrm{1}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{and}\:\varphi\left(\mathrm{2}\right)=\frac{−\mathrm{2i}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid−\mathrm{1}\:=\mid−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mid−\mathrm{1}\:=\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\:=\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid>\mathrm{1}\:\left(\mathrm{out}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\right)\:\Rightarrow\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2i}\pi×\frac{−\mathrm{2i}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow\Phi\:=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\frac{\mathrm{17}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\mathrm{12}\pi\:=\left(\frac{\mathrm{17}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\mathrm{12}\right)\pi \\ $$$$ \\ $$