Question Number 65320 by hovea cw last updated on 28/Jul/19
Commented by mathmax by abdo last updated on 28/Jul/19
$${let}\:{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{1}+{x}}{lnxdx}\:{changement}\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}={t}\:{give}\:\mathrm{1}+{x}\:={t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$${x}\:={t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:\:{and}\:{I}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} {tln}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{t}\right){dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} {t}^{\mathrm{2}} {ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){dt}\:\:\:{by}\:{parts}\:{u}^{'} \:={t}^{\mathrm{2}} \:{and}\:{v}\:={ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} {t}^{\mathrm{2}} {ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){dt}\:=\left[\left(\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right){ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:−\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \left(\frac{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\frac{\mathrm{2}{t}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)×\mathrm{0}\:−{lim}_{{t}\rightarrow\mathrm{1}} \frac{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{{t}^{\mathrm{4}} −{t}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\mathrm{0}−\mathrm{0}\:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\frac{{t}^{\mathrm{4}} −{t}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{{t}^{\mathrm{4}} −{t}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\frac{{t}\left({t}−\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} \:+{t}+\mathrm{1}\right)}{\left({t}−\mathrm{1}\right)\left({t}+\mathrm{1}\right)}{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{{t}^{\mathrm{3}} \:+{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}}{{t}+\mathrm{1}}\:{dt}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \left({t}+\mathrm{1}\right)−{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}}{{t}+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:{t}^{\mathrm{2}\:} {dt}\:\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{{tdt}}{{t}+\mathrm{1}}\:=\left[\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\right){dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\:−\left[{ln}\mid{t}+\mathrm{1}\mid\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:−{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)+{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\left\{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:+{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\} \\ $$$${I}\:=−\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{9}}\sqrt{\mathrm{2}\:}\:+\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\:−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$