Question-130875

Question Number 130875 by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21

Answered by benjo_mathlover last updated on 30/Jan/21

y′′−(((2x)/(1−x^2 )))y′+((2/(1−x^2 )))y=0 y_2 ′y_1 −y_2 y_1 ′=Ce^(−∫ a_1 dx) ((y_2 ′y_1 −y_2 y_1 ′)/y_1 ^2 ) = (1/y_1 ^2 )Ce^(−∫a_1 dx) (d/dx)((y_2 /y_1 )) = (1/y_1 ^2 ) Ce^(−∫a_1 dx) (y_2 /y_1 ) = ∫ ((Ce^(−∫ a_1 dx) )/y_1 ^2 ) dx ; y_2 =y_1 ∫ ((Ce^(−∫ a_1 dx) )/y_1 ^2 ) dx y=C_1 y_1 +C_2 y_1 ∫ (e^(−∫ a_1 dx) /y_1 ^2 ) dx in this case this eq has a particular solution y_1 =x then a_1 =((−2x)/(1−x^2 )) so we have y=x ∫ (e^(∫ ((2x)/(1−x^2 )) dx) /x^2 ) dx = x∫ (e^(−ln (1−x^2 )) /x^2 ) dx y= x ∫ (dx/(x^2 (1−x^2 ))) = x ∫ ((1/x^2 )+(1/(2(1−x)))+(1/(2(1+x))))dx y = x( −(1/x)+(1/2)ln ∣((1+x)/(1−x)) ∣) General solution y= C_1 x+ C_2 ((1/2)xln ∣((1+x)/(1−x)) ∣−1)

$$\mathrm{y}''−\left(\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{y}'+\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} '\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} '=\mathrm{Ce}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{dx}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} '\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} '}{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\mathrm{Ce}^{−\int\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} }\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{Ce}^{−\int\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} }\:=\:\int\:\frac{\mathrm{Ce}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:;\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \int\:\frac{\mathrm{Ce}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{y}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \int\:\frac{\mathrm{e}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}\:\mathrm{this}\:\mathrm{eq}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{x}\:\mathrm{then}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\:\mathrm{y}=\mathrm{x}\:\int\:\frac{\mathrm{e}^{\int\:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}\int\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{y}=\:\mathrm{x}\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\:\mathrm{x}\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x}\left(\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mid\right) \\ $$$$\mathcal{G}\mathrm{eneral}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\:\mathrm{y}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{xln}\:\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mid−\mathrm{1}\right)\: \\ $$

Commented by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21

$${nice}. \\ $$

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