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Reduce-to-first-order-and-solve-showing-each-step-in-detail-1-y-y-3-siny-0-2-y-1-y-2-

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Question Number 193371 by gloriousman last updated on 11/Jun/23
Reduce to first order and solve , showing each step in detail. 1. y′′ +(y′)^3 siny=0 2. y′′=1+(y′)^2
$$\mathrm{Reduce}\:\mathrm{to}\:\mathrm{first}\:\mathrm{order}\:\mathrm{and}\:\mathrm{solve}\:, \\ $$$$\mathrm{showing}\:\mathrm{each}\:\mathrm{step}\:\mathrm{in}\:\mathrm{detail}. \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{y}''\:+\left(\mathrm{y}'\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{siny}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{y}''=\mathrm{1}+\left(\mathrm{y}'\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 11/Jun/23
y′′+(y′)^3 sin(y)=0....(A) first we do not know how to starte caue just y′ cos(y(x))=z z′=y′′cos(y)−y′^2 sin(y)...E cosy=(z/(y′))..if y′=0⇒y=c solution suppose ∃y#constante and y∈C_2 [a,b]⇒∃I⊂[a,b] y′≠0 this justify division by y′ E⇔z′=((zy′′)/(y′))−y′^2 sin(y) ⇔z′y′−zy^′ ′−y′′=−y′^3 sin(y)−y′′=0byA ⇔z′y′−y′′(z−1)=0 ⇒((z′y′−y′′(z−1))/((z−1)^2 ))=0 ⇔(d/dx)(((−y′)/((z−1))))=0 ⇒−((y′)/(z−1))=c y′=c(z−1)⇒z=((y′)/c)+1=ay′+1 ⇒y′cos(y)−ay′=1⇒sin(y)−ay=x+c ⇒ { ((y′′+y′^3 sin(y)=0)),((sin(y)−ay=x+c)) :}
$$\mathrm{y}''+\left(\mathrm{y}'\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{0}….\left(\mathrm{A}\right) \\ $$$$\mathrm{first}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{not}\:\mathrm{know}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{starte}\:\mathrm{caue} \\ $$$$\mathrm{just}\:\mathrm{y}'\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{z} \\ $$$$\mathrm{z}'=\mathrm{y}''\mathrm{cos}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}'^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right)…\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{cosy}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{y}'}..\mathrm{if}\:\mathrm{y}'=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{c}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{suppose}\:\exists\mathrm{y}#\mathrm{constante} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{y}\in\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]\Rightarrow\exists\mathrm{I}\subset\left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]\:\mathrm{y}'\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{justify}\:\mathrm{division}\:\mathrm{by}\:\mathrm{y}' \\ $$$$\mathrm{E}\Leftrightarrow\mathrm{z}'=\frac{\mathrm{zy}''}{\mathrm{y}'}−\mathrm{y}'^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{z}'\mathrm{y}'−\mathrm{zy}^{'} '−\mathrm{y}''=−\mathrm{y}'^{\mathrm{3}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}''=\mathrm{0byA} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{z}'\mathrm{y}'−\mathrm{y}''\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{z}'\mathrm{y}'−\mathrm{y}''\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{−\mathrm{y}'}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\frac{\mathrm{y}'}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}=\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{y}'=\mathrm{c}\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{z}=\frac{\mathrm{y}'}{\mathrm{c}}+\mathrm{1}=\mathrm{ay}'+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}'\mathrm{cos}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{ay}'=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{ay}=\mathrm{x}+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{y}''+\mathrm{y}'^{\mathrm{3}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{0}}\\{\mathrm{sin}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{ay}=\mathrm{x}+\mathrm{c}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 11/Jun/23
2,y′=z⇔z′=1+z^2 ⇒∫(dz/(z^2 +1))=∫1=x+c=arctan(z) ⇒z=tan(x+c),∀x∈R−{(π/2)+kπ−c} z=y′=tan(x+c)⇒y=−ln∣cos(x+c)∣+c_1 c,c_1 ∈R
$$\mathrm{2},\mathrm{y}'=\mathrm{z}\Leftrightarrow\mathrm{z}'=\mathrm{1}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\int\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\int\mathrm{1}=\mathrm{x}+\mathrm{c}=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{c}\right),\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}−\left\{\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{k}\pi−\mathrm{c}\right\} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{y}'=\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{c}\right)\Rightarrow\mathrm{y}=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\mathrm{c}\right)\mid+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{c},\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \in\mathbb{R} \\ $$
Answered by aleks041103 last updated on 12/Jun/23
1. y′′+(y′)^3 sin(y)=0 ⇒−((y′′)/((y′)^2 ))+(−sin(y))y′=0 ⇒((1/(y′))+cos(y))′=0⇒(1/(y′))+cos(y)=a=const. ⇒y′=(1/(a−cos(y))) ⇒(a−cos(y))dy=dx ⇒ay−sin(y)+b=x, a,b=const. 2.y′′=1+(y′)^2 ⇒((y′′)/(1+(y′)^2 ))=(actan(y′))′=1 ⇒arctan(y′)=x+a, a=const. ⇒y′=(dy/dx)=tan(x+a) ⇒dy=tan(x+a)dx ⇒y=∫((sin(x+a))/(cos(x+a)))dx=−∫((d(cos(x+a)))/(cos(x+a))) ⇒y=−ln(cos(x+a))+b, a,b=const.
$$\mathrm{1}.\:{y}''+\left({y}'\right)^{\mathrm{3}} {sin}\left({y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\frac{{y}''}{\left({y}'\right)^{\mathrm{2}} }+\left(−{sin}\left({y}\right)\right){y}'=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{1}}{{y}'}+{cos}\left({y}\right)\right)'=\mathrm{0}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{y}'}+{cos}\left({y}\right)={a}={const}. \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\frac{\mathrm{1}}{{a}−{cos}\left({y}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\left({a}−{cos}\left({y}\right)\right){dy}={dx} \\ $$$$\Rightarrow{ay}−{sin}\left({y}\right)+{b}={x},\:{a},{b}={const}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}.{y}''=\mathrm{1}+\left({y}'\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{y}''}{\mathrm{1}+\left({y}'\right)^{\mathrm{2}} }=\left({actan}\left({y}'\right)\right)'=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{arctan}\left({y}'\right)={x}+{a},\:{a}={const}. \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\frac{{dy}}{{dx}}={tan}\left({x}+{a}\right) \\ $$$$\Rightarrow{dy}={tan}\left({x}+{a}\right){dx} \\ $$$$\Rightarrow{y}=\int\frac{{sin}\left({x}+{a}\right)}{{cos}\left({x}+{a}\right)}{dx}=−\int\frac{{d}\left({cos}\left({x}+{a}\right)\right)}{{cos}\left({x}+{a}\right)} \\ $$$$\Rightarrow{y}=−{ln}\left({cos}\left({x}+{a}\right)\right)+{b},\:{a},{b}={const}. \\ $$

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