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If-the-roots-of-2x-2-7x-5-0-are-the-reciprocal-roots-of-ax-2-bx-c-0-then-a-c-

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Question Number 8662 by tttttyyyyuuuuuu77 last updated on 20/Oct/16
If the roots of 2x^2 +7x+5=0 are the reciprocal roots of ax^2 +bx+c=0, then a−c = ______.
$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{reciprocal}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:{ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}=\mathrm{0}, \\ $$$$\mathrm{then}\:{a}−{c}\:=\:\_\_\_\_\_\_. \\ $$
Answered by sandy_suhendra last updated on 20/Oct/16
2x^2 +7x+5=0 ⇒the roots are α and β so α+β = ((−7)/2) and αβ = (5/2) ax^2 +bx+c=0 ⇒ the roots are x_1 and x_2 x_1 =(1/α) and x_2 =(1/β) x_1 +x_2 =(1/α)+(1/β)=((α+β)/(αβ))=((−7/2)/(5/2)) =((−7)/5) x_1 x_2 =(1/(αβ))=(2/5) ax^2 +bx+c=x^2 −(x_1 +x_2 )x+x_1 x_2 =0 x^2 +(7/5)x+(2/5)=0 ⇒ 5x^2 +7x+2=0 so a=5, b=7, c=2 a−c=5−2=3
$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\alpha\:\mathrm{and}\:\beta \\ $$$$\mathrm{so}\:\:\:\alpha+\beta\:=\:\frac{−\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\alpha\beta\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\alpha}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\beta} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\alpha}+\frac{\mathrm{1}}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{−\mathrm{7}/\mathrm{2}}{\mathrm{5}/\mathrm{2}}\:=\frac{−\mathrm{7}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\alpha\beta}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{so}\:\:\mathrm{a}=\mathrm{5},\:\mathrm{b}=\mathrm{7},\:\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{c}=\mathrm{5}−\mathrm{2}=\mathrm{3} \\ $$
Commented by sandy_suhendra last updated on 20/Oct/16
more simple 2x^2 +7x+5=0 ⇒the roots are α and β ax^2 +bx+c=0 ⇒ the roots are x_1 and x_2 x_1 =(1/α) or α=(1/x) substitute to 2x^2 +7x+5=0 we have ⇒ 2((1/x^2 ))+7((1/x))+5=0 (2/x^2 )+(7/x)+5=0 ⇒ multiplied by x^2 2+7x+5x^2 =0 a=5, b=7 and c=2
$$\mathrm{more}\:\mathrm{simple} \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\alpha\:\mathrm{and}\:\beta \\ $$$$\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\alpha}\:\:\mathrm{or}\:\:\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{substitute}\:\mathrm{to}\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{7}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{x}}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{multiplied}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}+\mathrm{7x}+\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{5},\:\mathrm{b}=\mathrm{7}\:\mathrm{and}\:\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$

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