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Question Number 9722 by supungamage001 last updated on 29/Dec/16
If the roots of the quadratic equation x^2 +px+q=0 are tan 30° and tan 15° respectively, then the value of 2 + q−p is
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{quadratic}\:\mathrm{equation} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{px}+{q}=\mathrm{0}\:\mathrm{are}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{30}°\:\mathrm{and}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{15}° \\ $$$$\mathrm{respectively},\:\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{2}\:+\:{q}−{p}\:\mathrm{is} \\ $$
Commented by ridwan balatif last updated on 29/Dec/16
tan30^o =(1/3)(√3) tan15^o =tan(45−30) =((tan45^o −tan30^o )/(1+tan45^o × tan30^o )) =((1−(1/3)(√3))/(1+(1/3)(√3))) =((3−(√3))/(3+(√3)))×(((3−(√3))/(3−(√3)))) =((12−6(√3))/6) =2−(√3) as we know tan30^o and tan15^0 is the root of the equation x^2 +px+q=0 (x−tan30^o )(x−tan15^o )=0 (x−(1/3)(√3))(x−(2−(√3)))=0 x^2 −((1/3)(√3)+2−(√3))x+(1/3)(√3)(2−(√3))=0 x^2 −(−(2/3)(√3)+2)x+(2/3)(√3)−1=0 x^2 +px+q=0 p=−2+(2/3)(√3) q=(2/3)(√3)−1 2+q−p=2+(2/3)(√3)−1+2−(2/3)(√3) =3
$$\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} =\mathrm{tan}\left(\mathrm{45}−\mathrm{30}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{tan45}^{\mathrm{o}} −\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} }{\mathrm{1}+\mathrm{tan45}^{\mathrm{o}} \:×\:\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}}×\left(\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{12}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{as}\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{tan15}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{q}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{q}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{p}=−\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}+\mathrm{q}−\mathrm{p}=\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3} \\ $$
Commented by ridwan balatif last updated on 30/Dec/16
kita tau bahwa tan30^o dan tan 15^o adalah suatu akar akar dari suatu persamaan kuadrat,maka (x−tan15^o )(x−tan30^o )=0 x^2 −(tan30^o +tan15^o )x+tan30^o ×tan15^o =0 x^2 +px+q=0 gunakan kesamaan matematika, kita dapati −p=tan30^o +tan15^o q=tan30^o ×tan15^o kita tau bahwa tan45^o =tan(30^o +15^o ) 1=((tan30^o +tan15^o )/(1−tan30^o ×tan15^o )) 1=((−p)/(1−q)) 1−q=−p q−p=1 jadi ,2+(q−p)=2+1=3
$$\mathrm{kita}\:\mathrm{tau}\:\mathrm{bahwa}\:\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} \:\mathrm{dan}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{15}^{\mathrm{o}} \:\mathrm{adalah}\:\mathrm{suatu} \\ $$$$\mathrm{akar}\:\mathrm{akar}\:\mathrm{dari}\:\mathrm{suatu}\:\mathrm{persamaan}\:\mathrm{kuadrat},\mathrm{maka} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} +\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} \right)\mathrm{x}+\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} ×\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{q}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{gunakan}\:\mathrm{kesamaan}\:\mathrm{matematika},\:\mathrm{kita}\:\mathrm{dapati} \\ $$$$−\mathrm{p}=\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} +\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} ×\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} \\ $$$$\mathrm{kita}\:\mathrm{tau}\:\mathrm{bahwa} \\ $$$$\mathrm{tan45}^{\mathrm{o}} =\mathrm{tan}\left(\mathrm{30}^{\mathrm{o}} +\mathrm{15}^{\mathrm{o}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}=\frac{\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} +\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} }{\mathrm{1}−\mathrm{tan30}^{\mathrm{o}} ×\mathrm{tan15}^{\mathrm{o}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}=\frac{−\mathrm{p}}{\mathrm{1}−\mathrm{q}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{q}=−\mathrm{p} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}−\mathrm{p}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{jadi}\:,\mathrm{2}+\left(\mathrm{q}−\mathrm{p}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{3} \\ $$
Commented by Joel575 last updated on 31/Dec/16
eh ini bknnya ada di OA math and physics SMA? wkwk
$$\mathrm{eh}\:\mathrm{ini}\:\mathrm{bknnya}\:\mathrm{ada}\:\mathrm{di}\:\mathrm{OA}\:\mathrm{math}\:\mathrm{and}\:\mathrm{physics}\:\mathrm{SMA}?\:\mathrm{wkwk} \\ $$
Commented by ridwan balatif last updated on 31/Dec/16
memang ada
$$\mathrm{memang}\:\mathrm{ada} \\ $$

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