Question-71993

Question Number 71993 by TawaTawa last updated on 23/Oct/19

Answered by mind is power last updated on 23/Oct/19

let∠ AC^ E=∠ADE=x ⇒∠ECD=3x−x=2x⇒EC=ED ECD isocel Triangl ∠ADC=∠EDC−∠EDA=2x−x=x △ADE=AD.ED.((sin(x))/2) △ACE=((AC.CEsin(x))/2) ((△ADE)/(△ACE))=((AD.DEsin(x))/(AC.CE.sin(x)))=((AD)/(AC)) {≪ED=EC≫} we have In ADE ((AD)/(sin(3x)))=((AC)/(sin(x))) ⇒((AD)/(AC))=((sin(3x))/(sin(x)))=((△ADE)/(△ACE)) lim_(x→0) ((sin(3x))/(sin(x)))=lim_(x→0) ((3.sin(3x))/(3x)).(((sin(x))/x))^(−1) lim ((sint)/t)=1⇒lim_(x→0) ((3sin(3x))/(3x)).(((sin(x))/x))^(−1) =3 we can also use sin(3x)=−4sin^3 (x)+3sin(x) ⇒((sin(3x))/(sin(x)))=−4sin^2 (x)+3→3

$$\mathrm{let}\angle\:\mathrm{A}\overset{} {\mathrm{C}E}=\angle\mathrm{ADE}=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\angle\mathrm{ECD}=\mathrm{3x}−\mathrm{x}=\mathrm{2x}\Rightarrow\mathrm{EC}=\mathrm{ED}\:\:\mathrm{ECD}\:\mathrm{isocel}\:\mathrm{Triangl} \\ $$$$\angle\mathrm{ADC}=\angle\mathrm{EDC}−\angle\mathrm{EDA}=\mathrm{2x}−\mathrm{x}=\mathrm{x} \\ $$$$\bigtriangleup\mathrm{ADE}=\mathrm{AD}.\mathrm{ED}.\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\bigtriangleup\mathrm{ACE}=\frac{\mathrm{AC}.\mathrm{CEsin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\bigtriangleup\mathrm{ADE}}{\bigtriangleup\mathrm{ACE}}=\frac{\mathrm{AD}.\mathrm{DEsin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{AC}.\mathrm{CE}.\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}\:\:\:\left\{\ll\mathrm{ED}=\mathrm{EC}\gg\right\} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{In}\:\mathrm{ADE}\:\:\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\bigtriangleup\mathrm{ADE}}{\bigtriangleup\mathrm{ACE}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3}.\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)}{\mathrm{3x}}.\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{lim}\:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}=\mathrm{1}\Rightarrow\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{3sin}\left(\mathrm{3x}\right)}{\mathrm{3x}}.\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\right)^{−\mathrm{1}} =\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{also} \\ $$$$\mathrm{use}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)=−\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3sin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)}=−\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3}\rightarrow\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by TawaTawa last updated on 23/Oct/19