Question Number 90628 by Josephbaraka@gmail.com last updated on 25/Apr/20
$$\mathrm{The}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{14}}\:\:\mathrm{is} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 25/Apr/20
$${x}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:\Rightarrow\mathrm{7}{x}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$${w}\:=\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{5}{x} \\ $$$$\mathrm{2}{w}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{5}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x} \\ $$$$\mathrm{4}{w}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{7}{x}\right)\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x} \\ $$$$\mathrm{4}{w}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x} \\ $$$$\mathrm{8}{w}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x} \\ $$$${w}\:=\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{8cos}\:{x}}\:=\:\frac{\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)}{\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x}\:=\:\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right)\:=\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right) \\ $$$$ \\ $$