Question Number 6487 by Temp last updated on 29/Jun/16
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{and}\:\mathrm{show}\:\mathrm{why}: \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{H}_{{k}} =\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Where}: \\ $$$${H}_{{k}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 29/Jun/16
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{H}_{{k}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}}\:=\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}−{i}+\mathrm{1}}{{i}}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{{i}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left({n}+\mathrm{1}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}}−{n}=\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({H}_{{n}} \right)−{n} \\ $$$$=\left({n}+\mathrm{1}\right){H}_{{n}} +\mathrm{1}−{n}−\mathrm{1} \\ $$$$=\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({H}_{{n}} +\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)−\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$