Question Number 55786 by gunawan last updated on 04/Mar/19
$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{third}\:\mathrm{term}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{expansion}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\:{x}^{\mathrm{log}_{\mathrm{10}} {x}} \right)^{\mathrm{5}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{1000},\:\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$${x}\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 04/Mar/19
$$\mathrm{5}{c}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}^{{log}_{\mathrm{10}} {x}} \right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}^{\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}+\mathrm{2}{log}_{\mathrm{10}} {x}} =\frac{\mathrm{1000}}{\mathrm{5}!}×\mathrm{2}!×\mathrm{3}! \\ $$$${x}^{\mathrm{3}+{log}_{\mathrm{10}} {x}^{\mathrm{2}} } =\frac{\mathrm{1000}×\mathrm{2}×\mathrm{3}×\mathrm{2}}{\mathrm{5}×\mathrm{4}×\mathrm{3}×\mathrm{2}}=\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{10}^{{n}} \right)^{\mathrm{3}+{log}_{\mathrm{10}} \mathrm{10}^{\mathrm{2}{n}} } =\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{10}^{{n}} \right)^{\mathrm{3}+\mathrm{2}{n}} =\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}−{n}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{n}\left({n}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\left({n}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${n}=−\mathrm{2}\:{and}\:{n}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${so}\:{x}=\mathrm{10}^{−\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{100}} \\ $$$${or}\:{x}=\mathrm{10}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\sqrt{\mathrm{10}}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$