Menu Close

F-n-F-n-1-F-n-2-F-2-F-1-1-F-n-1-1-2-3-5-f-x-n-1-F-n-x-n-x-x-2-n-3-F-n-1-F-n-2-x-n-x-x-2-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 194020 by mnjuly1970 last updated on 26/Jun/23
F_n = F_n _(−1) +F_(n−2) F_2 = F_1 =1 F_n : 1 , 1 , 2 , 3 ,5... f(x)= Σ_(n=1) ^∞ F_n x^( n) = x + x^( 2) +Σ_(n=3) ^∞ (F_(n−1) +F_(n−2) )x^( n) = x+x^2 + Σ_(n=3) ^∞ F_(n−1) x^( n) + x^( 2) f (x) = x + x^( 2) + x^( 2) f(x) +x Σ_(n=2) ^∞ F_n x^( n) = x + x^( 2) + x^( 2) f(x)−x^( 2) + xf(x) ∴ f(x)= (x/(1−x−x^( 2) )) (generating function ) (x/(1−x−x^( 2) )) =Σ_(n=1) ^∞ F_n x^( n) ⇒ (x^( 2) /(1−x−x^( 2) ))=Σ_(n=1) ^∞ F_n x^( n+1) x= (1/(10)) ⇒ ((1/(100))/(1−(1/(10))−(1/(100)))) = Σ_(n=1) ^∞ (F_n /(10^( n+1) )) ⇒ { Σ_(n=1) ^∞ (( F_n )/(10^( n+1) )) = (1/(89)) }
$$\:\:\:\:\:\:{F}_{{n}} =\:{F}_{{n}} \:_{−\mathrm{1}} +{F}_{{n}−\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:{F}_{\mathrm{2}} =\:{F}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:{F}_{{n}} \::\:\:\:\:\mathrm{1}\:,\:\mathrm{1}\:,\:\mathrm{2}\:,\:\mathrm{3}\:,\mathrm{5}…\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:{F}_{{n}} \:{x}^{\:{n}} \:=\:{x}\:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} \:+\underset{{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({F}_{{n}−\mathrm{1}} +{F}_{{n}−\mathrm{2}} \right){x}^{\:{n}} \\ $$$$\:\:\:=\:\:{x}+{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\underset{{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}{F}_{{n}−\mathrm{1}} {x}^{\:{n}} \:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} \:{f}\:\left({x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\:{x}\:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} {f}\left({x}\right)\:+{x}\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}{F}_{{n}} \:{x}^{\:{n}} \\ $$$$\:\:\:=\:{x}\:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} {f}\left({x}\right)−{x}^{\:\mathrm{2}} +\:{xf}\left({x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\therefore\:\:\:{f}\left({x}\right)=\:\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}−{x}^{\:\mathrm{2}} }\:\:\:\left({generating}\:{function}\:\right)\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}−{x}^{\:\mathrm{2}} }\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{F}_{{n}} {x}^{\:{n}} \:\Rightarrow\:\frac{{x}^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{x}−{x}^{\:\mathrm{2}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{F}_{{n}} \:{x}^{\:{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:{x}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\Rightarrow\:\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{100}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{100}}}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{F}_{{n}} }{\mathrm{10}^{\:{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\left\{\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:\:{F}_{{n}} }{\mathrm{10}^{\:{n}+\mathrm{1}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{89}}\:\:\:\:\:\right\}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *