Question Number 195320 by Erico last updated on 30/Jul/23
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:+\infty} {t}^{−\mathrm{2}{t}} {sin}^{\mathrm{2}{n}} {tdt} \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\:\:\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\pi} {e}^{−\mathrm{2}{t}} {sin}^{\mathrm{2}{n}} {t}\:{dt} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \underset{\infty} {\:\:\backsim\:\:}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{sh}\left(\pi\right)}\sqrt{\frac{\pi}{{n}}} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 31/Jul/23
![I_n =(1/(1−e^(−2π) ))∫_0 ^π e^(−2t) sin^(2n) (t)dt ∫_0 ^∞ e^(−2t) sin^(2n) (t)=Σ_(k=0) ^∞ ∫_(kπ) ^((k+1)π) e^(−2t) sin^(2n) (t)dt t−kπ=x⇒dt=dx =Σ_(k≥0) ∫_0 ^π e^(−2x−2kπ) sin^(2n) (x+kπ)dx =Σ_(k≥0) e^(−2kπ) ∫_0 ^π e^(−2x) sin^(2n) (x)dx =(1/(1−e^(−2π) ))∫_0 ^π e^(−2x) sin^(2n) (x)dx... J_n =∫_0 ^π e^(−2x) sin^(2n) (x)dx By=[(e^(−2x) /(−2))sin^(2n) (x)]_0 ^π +(1/2)∫_0 ^π 2ncos(t)sin^(2n−1) (t)e^(−2t) dt =n∫_0 ^π cos(t)sin^(2n−1) (t)e^(−2t) dt =n[(e^(−2t) /(−2))cos(t)sin^(2n−1) (t)]+(n/2)∫_0 ^π e^(−2t) [−sin^(2n) (t)+(2n−1)cos^2 (t)sin^(2n−2) ]dt =(n/2)∫_0 ^π [(−2n)sin^(2n) (t)+(2n−1)sin^(2n−2) ]e^(−2t) dt =−n^2 ∫_0 ^π e^(−2t) sin^(2n) (t)dt+((n(2n−1))/2)∫_0 ^π sin^(2n−2) (t)e^(−2t) dt =−n^2 J_n +((n(2n−1))/2)J_(n−1) ⇔(1+n^2 )J_n =((n(2n−1))/2)J_(n−1) ⇔(J_n /J_(n−1) )=((n(2n−1))/(2(1+n^2 ))) ⇒Π_(k=1) ^n (J_k /J_(k−1) )=(J_n /J_0 )=Π_(k=1) ^n ((k(2k−1))/(2(k+i)(k−i))) =Π_(k=1) ^n ((2k(2k−1))/(4(k+i)(k−i)))=(((2n)!)/4^n ).((Γ(1−i)Γ(1+i))/(Γ(n+1−i)Γ(n+1+i))) Γ(1+i)Γ(1−i)=iΓ(1−i)Γ(i)=((iπ)/(sin(iπ))) =(π/(sh(π))) Γ(n+1+_− i)∼(√(2πn))e^(−n) n^(n+_− i) Γ(2n+1)=n^(2n) .2^(2n) e^(−2n) 2(√(2πn)) (J_n /J_0 )∼((2(√(2πn)).4^n .n^(2n) e^(−2n) )/(2πn.e^(−2n) n^(2n) .4^n )).(π/(sh(π)))=((2π)/( sh(π)(√(2πn)))) J_0 =∫_0 ^π e^(−2x) =((1−e^(−2π) )/2) J_n ∼((1−e^(−2π) )/(2sh(π))).((2π)/( (√(2πn)))) I_n =(1/(1−e^(−2π) ))J_n ∼(1/(sh(π))).(√(π/(2n)))](https://www.tinkutara.com/question/Q195381.png)
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{k}\pi} ^{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{t}−\mathrm{k}\pi=\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{dt}=\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}−\mathrm{2k}\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{k}\pi\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\mathrm{e}^{−\mathrm{2k}\pi} \int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}… \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{By}=\left[\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\pi} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{2ncos}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\right]+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \left[−\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \right]\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \left[\left(−\mathrm{2n}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \right]\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}+\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{J}_{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{J}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{J}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{J}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \Leftrightarrow\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{0}} }=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{k}−\mathrm{i}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}\left(\mathrm{k}+\mathrm{i}\right)\left({k}−{i}\right)}=\frac{\left(\mathrm{2}{n}\right)!}{\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }.\frac{\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)=\mathrm{i}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{i}\pi\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{sh}\left(\pi\right)} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\underset{−} {+}\mathrm{i}\right)\sim\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \mathrm{n}^{\mathrm{n}\underset{−} {+}\mathrm{i}} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}^{\mathrm{2n}} .\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2n}} \mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{0}} }\sim\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}.\mathrm{4}^{\mathrm{n}} .\mathrm{n}^{\mathrm{2n}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2n}} }{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}.\mathrm{e}^{−\mathrm{2n}} \mathrm{n}^{\mathrm{2n}} .\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }.\frac{\pi}{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\mathrm{sh}\left(\pi\right)\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{0}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }{\mathrm{2sh}\left(\pi\right)}.\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\mathrm{J}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}.\sqrt{\frac{\pi}{\mathrm{2n}}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ 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