Question-197325

Question Number 197325 by sonukgindia last updated on 13/Sep/23

Answered by witcher3 last updated on 13/Sep/23

f(f(x))=x^2 −1 if x∈R ∣f^2 (x)=x⇒x^2 −x−1=0 x∈{((1−(√5))/2),((1+(√5))/2)} f^4 (x)=x⇒(f^2 (x))^2 −1=(x^2 −1)^2 −1=x ⇔(x+1)((x−1)^2 (x+1)−1)=0 x(x+1)(x^2 −x−1)=0 x∈{0,−1,((1+_− (√5))/2)} f^2 (0)=−1,f^2 (−1)=0 ∃a≠b ,a,b∉{0,−1} sush that ,f(0)=a and f^3 (0)=f(−1)=b because if f(0)=a,a∈{0;−1} a=0⇒f^2 (0)=0 impissibl f(0)=−1 ⇒0=f^4 (0)=f^3 (−1)=f(0)⇒f^2 (0)=0 impossible f(0)=f^3 (0)⇒f^2 (0)=0 impossible ⇒∃(a≠b) ∉{−1,0} such f(0)=a and f^3 (0)=f(−1)=b ⇒f^3 (a)=0 f^4 (a)=f(0)=a f^4 (b)=b,a and b ∉{((1+_− (√5))/2)} suppose b∈ ⇒f^4 (b)=b= f(−1) f^2 (b)=b=f^3 (−1)=f^4 (0)=0 ⇒b=0 impossibl so we have 6 fixe points for f^4 a,b,0,−1,((1+_− (√5))/2) impossible we have just 4 f can′t exist

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\mid\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\in\left\{\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\Rightarrow\left(\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{x} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\in\left\{\mathrm{0},−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1},\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\exists\mathrm{a}\neq\mathrm{b}\:,\mathrm{a},\mathrm{b}\notin\left\{\mathrm{0},−\mathrm{1}\right\}\:\mathrm{sush}\:\mathrm{that} \\ $$$$,\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{because}\:\mathrm{if}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{a},\mathrm{a}\in\left\{\mathrm{0};−\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{impissibl} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}=\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\Rightarrow\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{impossible} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)\Rightarrow\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{impossible} \\ $$$$\Rightarrow\exists\left(\mathrm{a}\neq\mathrm{b}\right)\:\notin\left\{−\mathrm{1},\mathrm{0}\right\}\: \\ $$$$\mathrm{such}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{b} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{a}\: \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{b},\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:\notin\left\{\frac{\mathrm{1}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$\mathrm{suppose}\:\mathrm{b}\in\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{b}=\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{b}=\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0}\:\mathrm{impossibl} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{6}\:\mathrm{fixe}\:\mathrm{points}\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{0},−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\:\:\mathrm{impossible}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{just}\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{f}\:\mathrm{can}'\mathrm{t}\:\mathrm{exist} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by MathematicalUser2357 last updated on 17/Sep/23

$${you}\:{mean}\:\pm \\ $$

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