Question-197335

Question Number 197335 by sonukgindia last updated on 13/Sep/23

Answered by witcher3 last updated on 13/Sep/23

x→(1/x) I=∫_(1/( (√3))) ^(√3) (1/(x^2 +1))tan^(−1) ((((√3)x^2 )/(x^2 +2)))dx 2I=∫(dx/(1+x^2 ))(tan^(−1) (((√3)/(2x^2 +1)))+tan^(−1) (((x^2 (√3))/(x^2 +2))))dx tan^(−1) (a)+tan^(−1) (b)=tan^(−1) (((a+b)/(1−ab))) =tan^− (((√3)/(2x^2 +1)))+tan^(−1) (((x^2 (√3))/(x^2 +2))) =tan^(−1) (((((√3)/(2x^2 +1))+((x^2 (√3))/(x^2 +2)))/(1−((3x^2 )/((x^2 +2)(2x^2 +1)))))) =tan^(−1) (((2x^4 (√3)+2x^2 (√3)+2(√3))/(2x^4 +2x^2 +2)))=tan^(−1) ((√3))=(π/3) 2I=(π/3)∫_(1/( (√3))) ^(√3) (dx/(1+x^2 ))=(π^2 /(18)) I=(π^2 /(36))

$$\mathrm{x}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{2I}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}\right) \\ $$$$=\mathrm{tan}^{−} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}}\right) \\ $$$$=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{2I}=\frac{\pi}{\mathrm{3}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{36}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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