Question Number 197464 by universe last updated on 18/Sep/23
Answered by witcher3 last updated on 19/Sep/23
![claim (((a+b)^6 )/((ab)^2 ))≥32(a^2 +b^2 )....P,by symetri a≥b a=tb,t∈]0,1] (P)⇔∀t∈[0,1[(1+t)^6 ≥32t^2 (1+t^2 ) ⇔t^6 +6t^5 −17t^4 +20t^3 −17t^2 +6t+1≥0 ⇔t^3 +(1/t^3 )+6(t^2 +(1/t^2 ))−17(t+(1/t))+20 y=t+(1/t)⇒y∈[2,∞[=I ⇔∀y∈I y^3 +6y^2 −20y+8≥0 (y−2)(y^2 +8y−4)≥0 True y>2 y^2 +8y−4=y^2 −4+8y≥4−4+8y≥16 True⇒(P) True ⇒∀(a,b)∈R_+ (((a_1 +a_2 )^6 )/((a_1 a_2 )^4 ))≥32(a_1 ^2 +a_2 ^2 )^2 Σ_(cyc) (((a_1 +a_2 )^6 )/((a_1 a_2 )^4 ))≥32Σ_(cyc) (a_1 ^2 +a_2 ^2 ) S={a_i ,i∈[1,n]},a_(n+1) =a_1 ⇒Σ_(i=1) ^n (((a_i +a_(i+1) )^2 )/((a_i a_(i+1) )^2 ))≥32Σ_(i=1) ^(n+1) (a_i ^2 +a_(i+1) ^2 )=32.2Σ_(i=1) ^n a_i ^2 Σ_(cyc) (((a_1 +a_2 )^6 )/(a_1 ^2 a_2 ^2 ))≥64Σ_(i=1) ^n a_i ^2](https://www.tinkutara.com/question/Q197478.png)
$$\mathrm{claim} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{ab}\right)^{\mathrm{2}} }\geqslant\mathrm{32}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)….\mathrm{P},\mathrm{by}\:\mathrm{symetri}\:\mathrm{a}\geqslant\mathrm{b} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\left.=\mathrm{tb},\mathrm{t}\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\right] \\ $$$$\left(\mathrm{P}\right)\Leftrightarrow\forall\mathrm{t}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{6}} \geqslant\mathrm{32t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right.\right. \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{6t}^{\mathrm{5}} −\mathrm{17t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{20t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{17t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6t}+\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{6}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{17}\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)+\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\Rightarrow\mathrm{y}\in\left[\mathrm{2},\infty\left[=\mathrm{I}\right.\right. \\ $$$$\Leftrightarrow\forall\mathrm{y}\in\mathrm{I}\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20y}+\mathrm{8}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8y}−\mathrm{4}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{True}\:\mathrm{y}>\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8y}−\mathrm{4}=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}+\mathrm{8y}\geqslant\mathrm{4}−\mathrm{4}+\mathrm{8y}\geqslant\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{True}\Rightarrow\left(\mathrm{P}\right)\:\mathrm{True} \\ $$$$\Rightarrow\forall\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{R}_{+} \frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }\geqslant\mathrm{32}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{\mathrm{cyc}} {\sum}\frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }\geqslant\mathrm{32}\underset{\mathrm{cyc}} {\sum}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{S}=\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ,\mathrm{i}\in\left[\mathrm{1},\mathrm{n}\right]\right\},\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} +\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} }\geqslant\mathrm{32}\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{32}.\mathrm{2}\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{\mathrm{cyc}} {\sum}\frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{6}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }\geqslant\mathrm{64}\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$