Question Number 197501 by SANOGO last updated on 19/Sep/23
Answered by witcher3 last updated on 19/Sep/23
$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\exists\mathrm{x}\in\mathrm{A},\exists\epsilon^{\ast} >\mathrm{0}\:\:\beta\left(\mathrm{x},\epsilon\right)\in\mathrm{A},\mathrm{Boules}\:\mathrm{ouvert} \\ $$$$\mathrm{soit}\:\mathrm{B}\subset\mathrm{X},\overset{−} {\mathrm{B}}=\mathrm{X} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{x}\in\mathrm{X}\:\:\exists\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \in\mathrm{B}\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\mathrm{d}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ,\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\forall\epsilon>\mathrm{0}\:\exists\mathrm{N}\in\mathbb{N}\:\:\mid\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{N}\:\:\mathrm{d}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ,\mathrm{x}\right)<\epsilon \\ $$$$\mathrm{pour}\:\epsilon=\epsilon^{\ast} \\ $$$$\mathrm{d}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{N}} ,\mathrm{x}\right)<\epsilon \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{N}} \in\mathrm{B}\:\cap\overset{\mathrm{o}} {\mathrm{A}}\subset\mathrm{B}\cap\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{B}\cap\mathrm{A}\:\neq\emptyset \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{facile} \\ $$
Commented by SANOGO last updated on 19/Sep/23
$${meeci}\:{bien}\: \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 19/Sep/23
$$\mathrm{avec}\:\mathrm{plaisir}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{etes}\:\mathrm{en}\:\mathrm{quelle}\:\mathrm{classe}\:\% \\ $$