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Question-197667

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 197667 by SANOGO last updated on 25/Sep/23
Answered by Frix last updated on 26/Sep/23
X, Y∈R^3 , r∈R (1) N(X)=0 ⇒ X=0 ✓ X≠0 ⇔ x_1 ≠0∨x_2 ≠0∨x_3 ≠0 ⇔ N(X)≠0 (2) N(r×X)=∣r∣×N(X) ✓ N(r×X)=(√(r^2 x_1 ^2 +r^2 x_2 ^2 ))+∣rx_3 ∣=∣r∣(√(x_1 ^2 +x_2 ^2 ))+∣r∣×∣x_3 ∣=∣r∣×N(X) (3) N(X+Y)≤N(X)+N(Y) ✓ (√((x_1 +y_1 )^2 +(x_2 +y_2 )^2 ))+∣x_3 +y_3 ∣≤(√(x_1 ^2 +x_2 ^2 ))+∣x_3 ∣+(√(y_1 ^2 +y_2 ^2 ))+∣y_3 ∣ (a) (√((x_1 +y_1 )^2 +(x_2 +y_2 )^2 ))≤(√(x_1 ^2 +x_2 ^2 ))+(√(y_1 ^2 +y_2 ^2 )) (x_1 +y_1 )^2 +(x_2 +y_2 )^2 ≤x_1 ^2 +x_2 ^2 +y_1 ^2 +y_2 ^2 +2(√((x_1 ^2 +x_2 ^2 )(y_1 ^2 +y_2 ^2 ))) x_1 y_1 +x_2 y_2 ≤(√(x_1 ^2 y_1 ^2 +x_1 ^2 y_2 ^2 +x_2 ^2 y_1 ^2 +x_2 ^2 y_2 ^2 )) x_1 ^2 y_1 ^2 +2x_1 x_2 y_1 y_2 +x_2 ^2 y_2 ^2 ≤x_1 ^2 y_1 ^2 +x_1 ^2 y_2 ^2 +x_2 ^2 y_1 ^2 +x_2 ^2 y_2 ^2 0≤x_1 ^2 y_2 ^2 −2x_1 y_2 x_2 y_1 +x_2 ^2 y_1 ^2 0≤(x_1 y_2 −x_2 y_1 )^2 ✓ (b) ∣x_3 +y_3 ∣≤∣x_3 ∣+∣y_3 ∣ (x_3 +y_3 )^2 ≤x_3 ^2 +y_3 ^2 +2∣x_3 ∣∣y_3 ∣ 2x_3 y_3 ≤2∣x_3 y_3 ∣ ✓ ⇒ N(X) est une norme X∈R^n , n∈N ⇒ N_1 (X) est une norme ∧ N_2 (X) est une norme ⇒ N_1 (X) est e^� quivalente a^� N_2 (X)
$${X},\:{Y}\in\mathbb{R}^{\mathrm{3}} ,\:{r}\in\mathbb{R} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{N}\left({X}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{X}=\mathrm{0}\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:{X}\neq\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{x}_{\mathrm{1}} \neq\mathrm{0}\vee{x}_{\mathrm{2}} \neq\mathrm{0}\vee{x}_{\mathrm{3}} \neq\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{N}\left({X}\right)\neq\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{N}\left({r}×{X}\right)=\mid{r}\mid×{N}\left({X}\right)\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:{N}\left({r}×{X}\right)=\sqrt{{r}^{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }+\mid{rx}_{\mathrm{3}} \mid=\mid{r}\mid\sqrt{{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }+\mid{r}\mid×\mid{x}_{\mathrm{3}} \mid=\mid{r}\mid×{N}\left({X}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{N}\left({X}+{Y}\right)\leqslant{N}\left({X}\right)+{N}\left({Y}\right)\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\sqrt{\left({x}_{\mathrm{1}} +{y}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\left({x}_{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }+\mid{x}_{\mathrm{3}} +{y}_{\mathrm{3}} \mid\leqslant\sqrt{{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }+\mid{x}_{\mathrm{3}} \mid+\sqrt{{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }+\mid{y}_{\mathrm{3}} \mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\left({a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\sqrt{\left({x}_{\mathrm{1}} +{y}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\left({x}_{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\leqslant\sqrt{{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }+\sqrt{{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\left({x}_{\mathrm{1}} +{y}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\left({x}_{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \leqslant{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)\left({y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {y}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} \leqslant\sqrt{{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} {y}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \leqslant{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{0}\leqslant{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} {y}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{0}\leqslant\left({x}_{\mathrm{1}} {y}_{\mathrm{2}} −{x}_{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\left({b}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mid{x}_{\mathrm{3}} +{y}_{\mathrm{3}} \mid\leqslant\mid{x}_{\mathrm{3}} \mid+\mid{y}_{\mathrm{3}} \mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\left({x}_{\mathrm{3}} +{y}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} \leqslant{x}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} +{y}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\mid{x}_{\mathrm{3}} \mid\mid{y}_{\mathrm{3}} \mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}_{\mathrm{3}} {y}_{\mathrm{3}} \leqslant\mathrm{2}\mid{x}_{\mathrm{3}} {y}_{\mathrm{3}} \mid\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:{N}\left({X}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{norme} \\ $$$$ \\ $$$${X}\in\mathbb{R}^{{n}} ,\:{n}\in\mathbb{N}\:\Rightarrow \\ $$$${N}_{\mathrm{1}} \left({X}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{norme}\:\wedge\:{N}_{\mathrm{2}} \left({X}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{norme} \\ $$$$\Rightarrow\:{N}_{\mathrm{1}} \left({X}\right)\:\mathrm{est}\:\acute {\mathrm{e}quivalente}\:\grave {\mathrm{a}}\:{N}_{\mathrm{2}} \left({X}\right) \\ $$
Commented by SANOGO last updated on 26/Sep/23
thank you sir
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

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