Question-197838

Question Number 197838 by hardmath last updated on 30/Sep/23

Answered by MM42 last updated on 30/Sep/23

(2^(49) /(2^(49) +1))+(2^(48) /(2^(48) +1))+...+(1/(2^(48) +1))+(1/(2^(49) +1)) =1+1+...+1= 49 ✓

$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{1}+…+\mathrm{1}=\:\mathrm{49}\:\checkmark \\ $$

Commented by hardmath last updated on 30/Sep/23

$$\mathrm{Is}\:\mathrm{this}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{solution},\:\mathrm{professor}? \\ $$

Commented by cortano12 last updated on 01/Oct/23

$$\mathrm{49}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 01/Oct/23

((2^(49) /(2^(49) +1))+(1/(2^(49) +1)))+((2^(48) /(2^(48) +1))+(1/(2^(48) +1)))+...+((2^2 /(2^2 +1))+(1/(2^2 +1)))+((2^1 /(2^1 +1))+(1/(2^1 +1)))+((1/(2^0 +1))) ((2^(49) +1)/(2^(49) +1))+((2^(48) +1)/(2^(48) +1))+...+((2^1 +1)/(2^1 +1))+(1/(1+1)) 1+1+1+...49 timed+(1/2) =49(1/2)

$$\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}\right)+…+\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} +\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+…+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+…\mathrm{49}\:{timed}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{49}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by MM42 last updated on 01/Oct/23

$${ok}\:.\checkmark \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 02/Oct/23

AnOther way... (1/(2^(−49) +1))+(1/(2^(−48) +1))+...+(1/(2^(48) +1))+(1/(2^(49) +1)) =((1/(2^(−49) +1))+(1/(2^(49) +1)))+((1/(2^(−48) +1))+(1/(2^(48) +1)))+ ....+((1/(2^(−1) +1))+(1/(2^1 +1)))+((1/(2^0 +1))) =(((2^(49) +1+2^(−49) +1)/(1+2^(−49) +2^(49) +1)))+(((2^(48) +1+2^(−48) +1)/(1+2^(−48) +2^(48) +1)))+ ...+(((2^1 +1+2^(−1) +1)/(1+2^(−1) +2^1 +1)))+((1/(1+1))) =1+1+....+1(49 times)+(1/2) =49(1/2)

$$\mathrm{AnOther}\:\mathrm{way}… \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{−\mathrm{49}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{−\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{−\mathrm{49}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{−\mathrm{48}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}\right)+ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:….+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} +\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−\mathrm{49}} +\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−\mathrm{49}} +\mathrm{2}^{\mathrm{49}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−\mathrm{48}} +\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−\mathrm{48}} +\mathrm{2}^{\mathrm{48}} +\mathrm{1}}\right)+ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…+\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{1}+….+\mathrm{1}\left(\mathrm{49}\:{times}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{49}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$

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