Question Number 197908 by mathlove last updated on 03/Oct/23
$${sin}\mathrm{18}^{°} =? \\ $$
Answered by universe last updated on 03/Oct/23
$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{36}°+\mathrm{54}°\right)\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{90}° \\ $$$$\mathrm{36}°\:+\:\mathrm{54}°\:=\:\mathrm{90}°\: \\ $$$${x}\:=\:\mathrm{18}°\: \\ $$$$\mathrm{5}{x}\:=\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{90}° \\ $$$$\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{90}°\:−\mathrm{3}{x} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:\:=\:\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{90}°\:−\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x} \\ $$$$\:\mathrm{2sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\:\:=\:\:\:\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} {x}\:−\:\mathrm{3cos}\:{x} \\ $$$$\mathrm{2sin}\:{x}\:\:=\:\:\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} {x}\:−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{2sin}\:{x}\:=\:\mathrm{4}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} {x}\:−\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} {x}\:+\:\mathrm{2sin}{x}\:−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sin}{x}\:=\:\frac{−\mathrm{2}\:\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{sin}{x}\:=\:\frac{−\mathrm{1}\pm\:\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}\:\: \\ $$$$\mathrm{sin18}°\:\:=\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\: \\ $$
Commented by mathlove last updated on 03/Oct/23
$${thanks} \\ $$