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Question-197917

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Question Number 197917 by sonukgindia last updated on 04/Oct/23
Commented by Frix last updated on 04/Oct/23
I have more joy with the 2^(nd) one, the 1^(st) one is boring.
$$\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{more}\:\mathrm{joy}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{one},\:\mathrm{the}\:\mathrm{1}^{\mathrm{st}} \:\mathrm{one} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{boring}. \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 06/Oct/23
(1/(x^5 +1))=(1/((x+1)(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))) =((ax)/(x+1))+((bx^4 +cx^2 +d)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))=(1/(x^5 +1)) (((a+b)x^5 +(b−a)x^4 +(c−a)x^3 +(−a+c)x^2 +(d+a)x+1)/(x^5 +1)) a+b=1 a+d=0 b−a=0 b−(1−b)=0 b=(1/2) c−a=0 a=c =1−b=(1/2) d=−a=−(1/2) (a=c=(1/2) b=(1/2) d=−(1/2)) ⇒(1/(x^5 +1))=(x/(2(x+1)))+((1/2 x^4 +1/2x^2 −1/2)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1)) donc ∫(1/(x^5 +1))dx=(1/2)∫(x/(x+1))dx+(1/2)∫((x^4 +x^2 −1)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx ((x^4 +x^2 −1)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))=(((x^4 +x^2 +1)−2−(x^3 +x)+(x^3 +x))/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1)) =1+((x^3 +x)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1)) U=x^4 −x^3 +x^2 −x+1 dU=4x^3 −3x^2 +2x−1 =4(x^3 +x)−(3x^2 +2x+1) ⇒ x^3 +x=(1/4)dU+(1/4)(3x^2 +2x+1) ⇒∫((x^3 +x)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))= (1/4)∫(dU/U)+(1/4)∫((3x^2 +2x+1)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx ⇒∫(dx/(x^5 +1))= x−(1/2)log(x+1)+ +(1/2)log(x^4 −x^3 +x^2 −x+1)+(1/4)∫((3x^2 +2x+1)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx ........................
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{a}\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}+\frac{\boldsymbol{\mathrm{bx}}^{\mathrm{4}} +\boldsymbol{\mathrm{cx}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{d}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} −\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(−\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{d}+\mathrm{a}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{b}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{b}}−\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{c}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}=\boldsymbol{\mathrm{c}}\:=\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{d}}=−\boldsymbol{\mathrm{a}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\: \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}=\boldsymbol{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{d}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}/\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{donc} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{U}=\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{dU}=\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{dU}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}= \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{U}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}=\:\:\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+ \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$…………………… \\ $$$$\: \\ $$
Commented by Frix last updated on 06/Oct/23
x^5 +1=(x+1)(x^2 −((1−(√5))/2)x+1)(x^2 −((1+(√5))/2)x+1)
$${x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}=\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$

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