Question Number 198032 by cortano12 last updated on 08/Oct/23
$$\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4025x}}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:}\:+…\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4025x}}}\:\right)=? \\ $$
Commented by universe last updated on 08/Oct/23
![lim_(x→∞) (1/( (√(4025))))×(1/x)Σ_(r=0) ^(4024x) (1/( (√(1+r/x)))) (2/( (√(4025))))∫_0 ^(4024) (1/( 2(√(1+y)))) dy (2/( (√(4025))))[(√(4025)) −1]](https://www.tinkutara.com/question/Q198035.png)
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4025}}}×\frac{\mathrm{1}}{{x}}\underset{{r}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{4024}{x}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{r}/{x}}} \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{4025}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4024}} \frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{y}}}\:{dy} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{4025}}}\left[\sqrt{\mathrm{4025}}\:−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\: \\ $$