for-a-n-be-a-sequence-of-positive-real-numbers-such-that-a-1-1-a-n-1-2-2a-n-a-n-1-a-n-0-n-1-than-the-sum-of-series-n-1-a-n-3-n-lies-in-the-interval-A-

Question Number 198304 by universe last updated on 17/Oct/23

$$\:\:\:\mathrm{for}\:\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right\}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{of}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:,\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{0}\:,\:\forall\:\mathrm{n}\geqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{than}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{series}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}\:} }\:\:\mathrm{lies}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{interval} \\ $$$$\:\:\left({A}\right)\:\:\left(\mathrm{1},\mathrm{2}\right]\:\:\:\:\left({B}\right)\:\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right]\:\:\:\:\left({C}\right)\:\:\left(\mathrm{3},\mathrm{4}\right]\:\:\:\:\left({D}\right)\:\:\left(\mathrm{4},\mathrm{5}\right] \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$

Commented by Frix last updated on 17/Oct/23

$${a}_{{n}+\mathrm{1}} ={a}_{{n}} +\sqrt{{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} +{a}_{{n}} }\:\Rightarrow\:{a}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{strictly}\:\mathrm{increasing} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} \sim\mathrm{2}{a}_{{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{for}\:\mathrm{great}\:{n}\:\wedge\:{a}_{{n}+\mathrm{1}} <\mathrm{2}{a}_{{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\forall{n}\in\mathbb{N} \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}{b}_{{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\wedge{b}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{b}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{3}−\mathrm{2}}{\mathrm{4}} \\ $$$${a}_{{n}} <{b}_{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\:\frac{{b}_{{n}} }{\mathrm{3}^{{n}} }\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} \mathrm{4}}−\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }\right)\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\:\frac{{a}_{{n}} }{\mathrm{3}^{{n}} }\:<\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$

Commented by Frix last updated on 17/Oct/23

$$\mathrm{Same}\:\mathrm{path}\:\mathrm{with}\:{b}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}={a}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\:\frac{{a}_{{n}} }{\mathrm{3}^{{n}} }\:<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$

Commented by mr W last updated on 17/Oct/23

$${a}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }} −\mathrm{1}} \\ $$

Commented by universe last updated on 17/Oct/23

$${sir}\:{how}\:{to}\:{find}\:{this}\:{result}\:? \\ $$

Commented by mr W last updated on 17/Oct/23

$${a}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}_{{n}+\mathrm{1}} {a}_{{n}} −{a}_{{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}}{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} } \\ $$$${let}\:{b}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} } \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{b}_{{n}+\mathrm{1}} −{b}_{{n}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} =−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{b}_{{n}} } \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\sqrt{{b}_{{n}} +\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:{c}_{{n}} ={b}_{{n}} +\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} }+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{c}_{{n}+\mathrm{1}} ={c}_{{n}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow{c}_{{n}} =\left({c}_{{n}−\mathrm{1}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\left({c}_{{n}−\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }} =…={c}_{\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{{a}_{\mathrm{1}} }+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{c}_{{n}} =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }} =\frac{\mathrm{1}}{{a}_{{n}} }+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }} −\mathrm{1}} \\ $$

Commented by Frix last updated on 18/Oct/23

$$\mathrm{Nice}! \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{written}\:\mathrm{as} \\ $$$${a}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}} {\sum}}\:\mathrm{2}^{\frac{{k}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{1}}} =\mathrm{1} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{4}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{8}}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}} \\ $$$$… \\ $$

Commented by universe last updated on 18/Oct/23

$${thanks}\:{sir} \\ $$

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