Question Number 198562 by cortano12 last updated on 22/Oct/23
$$\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right)+\:\mathrm{2f}\left(\mathrm{cot}\:\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{4x}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\:? \\ $$
Answered by dimentri last updated on 22/Oct/23
$$\:{let}\:{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{t}\: \\ $$$$\:{f}\left(\mathrm{cot}\:{t}\right)\:+\mathrm{2}\:{f}\left(\mathrm{tan}\:{t}\right)=\:\mathrm{2}\pi−\mathrm{4}{t} \\ $$$$\:\:\begin{cases}{{f}\left(\mathrm{cot}\:{x}\right)+\mathrm{2}\:{f}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)=\mathrm{2}\pi−\mathrm{4}{x}}\\{\mathrm{2}\:{f}\left(\mathrm{cot}\:{t}\right)+{f}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)=\:\mathrm{4}{x}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\begin{cases}{\mathrm{2}{f}\left(\mathrm{cot}\:{x}\right)+\mathrm{4}{f}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)=\mathrm{4}\pi−\mathrm{8}{x}}\\{\mathrm{2}{f}\left(\mathrm{cot}\:{x}\right)+{f}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)=\:\mathrm{4}{x}}\end{cases} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:{f}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)=\frac{\mathrm{4}\pi−\mathrm{12}{x}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:{f}\left({x}\right)=\:\frac{\mathrm{4}\pi−\mathrm{12}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}}{\mathrm{3}} \\ $$