Question Number 198952 by ArifinTanjung last updated on 26/Oct/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{6x}}\:=\:….? \\ $$
Answered by Mathspace last updated on 26/Oct/23
$${lim}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({sin}\left(\mathrm{3}{x}\right)\sim\mathrm{3}{x}\:{and}\:{tan}\left(\mathrm{6}{x}\right)\sim\mathrm{6}{x}\right) \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Oct/23
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{6x}}\:=\:….? \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}\:\:}\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\:\mathrm{3}\centerdot\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}}\centerdot\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{6}\centerdot\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{6}{x}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\left(\underset{\mathrm{3}{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}}\right)\left(\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}\right)}{\underset{\mathrm{6}{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{6}{x}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\left(\mathrm{1}\right)\left(\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}\right)}{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{6}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\mathrm{cos}\:\mathrm{0}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by essaad last updated on 26/Oct/23
$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{sin}\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}}×\frac{\mathrm{6}{x}}{{tan}\:\mathrm{6}{x}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\mathrm{1}×\mathrm{1}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\: \\ $$