Question Number 199112 by hardmath last updated on 28/Oct/23
$$\begin{cases}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{b}\:=\:\mathrm{73}}\\{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{a}\:=\:\mathrm{73}}\end{cases}\:\:\:\:\:\mathrm{find}:\:\mathrm{a},\mathrm{b}\:=\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 28/Oct/23
$$\left({i}\right)−\left({ii}\right): \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} +{a}−{b}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}+{b}+\mathrm{1}\right)\left({a}−{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${case}\:\mathrm{1}:\:{a}−{b}=\mathrm{0}\: \\ $$$${a}={b} \\ $$$${b}^{\mathrm{2}} −{b}−\mathrm{73}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{b}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{293}}}{\mathrm{2}}={a} \\ $$$${case}\:\mathrm{2}:\:{a}+{b}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${a}=−{b}−\mathrm{1} \\ $$$${b}^{\mathrm{2}} +{b}−\mathrm{72}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\frac{−\mathrm{1}\pm\mathrm{17}}{\mathrm{2}}=\mathrm{8}\:{or}\:−\mathrm{9} \\ $$$${a}=−\mathrm{9}\:{or}\:\mathrm{8} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 28/Oct/23
$$\mathrm{thankyou}\:\mathrm{professor} \\ $$
Answered by Frix last updated on 28/Oct/23
$${x}^{\mathrm{2}} −{y}={z} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −{x}={z} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${y}={z}−{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{zx}^{\mathrm{2}} −{x}+{z}^{\mathrm{2}} −{z}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}−{z}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}−{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}={y}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{4}{z}+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{4}{z}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\wedge{y}=\frac{−\mathrm{1}\mp\sqrt{\mathrm{4}{z}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$