Question Number 199662 by cortano12 last updated on 07/Nov/23
$$ \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{point}\:\mathrm{moves}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}}\:\:\mathrm{such} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{x}−\mathrm{coordinate}\:\mathrm{increases}\: \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{a}\:\mathrm{rate}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{10}}\:\:\mathrm{cm}/\mathrm{s}.\:\mathrm{Find} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{rate}\:\mathrm{of}\:\mathrm{change}\:\mathrm{of}\:\mathrm{it}'\mathrm{s} \\ $$$$\mathrm{distance}\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{1},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{2} \\ $$
Answered by mr W last updated on 07/Nov/23
$${y}=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}} \\ $$$${s}^{\mathrm{2}} =\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}−\mathrm{0}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${s}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{6} \\ $$$${at}\:{x}=\mathrm{2}: \\ $$$${s}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{2}+\mathrm{6}=\mathrm{10}\:\Rightarrow{s}=\sqrt{\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{2}{s}\frac{{ds}}{{dt}}=\mathrm{4}{x}\frac{{dx}}{{dt}}−\mathrm{2}×\frac{{dx}}{{dt}} \\ $$$${s}\frac{{ds}}{{dt}}=\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\frac{{dx}}{{dt}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{10}}\frac{{ds}}{{dt}}=\left(\mathrm{2}×\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{10}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{ds}}{{dt}}=\mathrm{9}\:{m}/{s} \\ $$