Question Number 72289 by mathocean1 last updated on 27/Oct/19
$${Bonjour}. \\ $$$${Aidez}\:{moi}\:{a}\:{resoudre}\:{le}\:{systeme}\: \\ $$$${suivant}\:\:\:\:{dans}\:\mathbb{R}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\: \\ $$$${x}−{y}=\mathrm{2} \\ $$$${xy}=\mathrm{20} \\ $$
Answered by mr W last updated on 27/Oct/19
$${x}=\mathrm{2}+{y} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+{y}\right){y}=\mathrm{20} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}−\mathrm{20}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\frac{−\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(−\mathrm{20}\right)}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{2}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$$${x}=\mathrm{2}+{y}=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$
Answered by Henri Boucatchou last updated on 27/Oct/19
$$\boldsymbol{{poser}}\:\:\boldsymbol{{z}}\:=\:−\boldsymbol{{y}} \\ $$$$\boldsymbol{{on}}\:\:\boldsymbol{{a}}\:\:\begin{cases}{\:\boldsymbol{{x}}+\boldsymbol{{z}}\:=\:\mathrm{2}}\\{\:\boldsymbol{{xz}}\:=\:−\mathrm{20}}\end{cases}\:\:\Rightarrow\:\:{x}\:\:\boldsymbol{{et}}\:\boldsymbol{{z}}\:\boldsymbol{{sont}}\:\:\boldsymbol{{solutions}}\:\:\boldsymbol{{de}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\mathrm{20}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\boldsymbol{{soit}}\:\:\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{20}\:=\:\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}+\:\sqrt{\mathrm{21}}\right)\left(\boldsymbol{{x}}−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{z}}\:=−\boldsymbol{{y}}\:=\:\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{y}}\:=\:−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$$$\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{z}}\:=\:−\boldsymbol{{y}}=\:\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\Rightarrow\:\:\boldsymbol{{y}}=−+\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$