Question Number 201106 by mnjuly1970 last updated on 29/Nov/23
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:{calculate}\:… \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:\zeta\left(\mathrm{2}{n}\:\right)}{\mathrm{2}^{\:{n}} .{n}}\:=\:? \\ $$$$ \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 30/Nov/23
![ζ(2n)Γ(2n)=∫_0 ^∞ (x^(2n−1) /(e^x −1))dx S=Σ_(n≥1) ((ζ(2n))/(2^n n))=Σ_(n≥1) (1/(2^n Γ(2n).n))∫_0 ^∞ (x^(2n−1) /(e^x −1))dx =∫_0 ^∞ (1/x)Σ_(n≥1) [(x^(2n) /((2n)!.2^n ))].(dx/(e^x −1)) =∫_0 ^∞ ((ch((x/( (√2))))−1)/(x(e^x −1)))dx=S S(a)=∫_0 ^∞ ((ch(ax)−1)/(x(e^x −1)))dx;S(0)=0 s′(a)=∫_0 ^∞ ((sh(ax))/(e^x −1))dx =∫_0 ^∞ ((e^(ax) −e^(−ax) )/(e^x −1))dx,e^(−x) =t =∫_0 ^1 ((t^(−a) −t^a )/(1−t))dt=Ψ(a+1)−Ψ(1−a) =(1/a)−πcot(πa) s(a)=ln(a)−ln(sin(πa)+c =ln((a/(sin(πa))))+c lim_(a→0) s(a)=s(0)=0=ln((1/π))+c⇒c=ln(π) S(a)=ln(((πa)/(sin(πa)))) S=s((1/( (√2))))=ln((π/( (√2).sin((π/( (√2)))))))](https://www.tinkutara.com/question/Q201138.png)
$$\zeta\left(\mathrm{2n}\right)\Gamma\left(\mathrm{2n}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{S}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\zeta\left(\mathrm{2n}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \Gamma\left(\mathrm{2n}\right).\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\left(\mathrm{2n}\right)!.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right].\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ch}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}=\mathrm{S} \\ $$$$\mathrm{S}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ch}\left(\mathrm{ax}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx};\mathrm{S}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{s}'\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{sh}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx},\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} =\mathrm{t} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{t}^{−\mathrm{a}} −\mathrm{t}^{\mathrm{a}} }{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mathrm{dt}=\Psi\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)−\Psi\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}−\pi\mathrm{cot}\left(\pi\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)+\mathrm{c}\right. \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\underset{\mathrm{a}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}s}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{s}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\pi}\right)+\mathrm{c}\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{ln}\left(\pi\right) \\ $$$$\mathrm{S}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}.\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 01/Dec/23
$${thanks}\:{alot}\:\:{master}\:\:\cancel{\lesseqgtr} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 01/Dec/23
$$\mathrm{withe}\:\mathrm{pleasur}\:\mathrm{Barak}\:\mathrm{alah}\:\mathrm{fik}\: \\ $$