Question Number 201374 by MrGHK last updated on 05/Dec/23
Answered by witcher3 last updated on 05/Dec/23
![xy=z ⇒ydx=z ∫_0 ^1 ∫_0 ^y ((tan^(−1) (z)dzdy)/((1+y)(1+z))) 0≤z≤y≤1⇔ 0≤z≤1 & z ≤y≤1 =∫_0 ^1 ∫_z ^1 ((tan^(−1) (z)dydz)/((1+y)(1+z))) =∫_0 ^1 ((tan^(−1) (z)ln(2))/(1+z))dz−∫_0 ^1 ((tan^(−1) (z)ln(1+z))/(1+z))dz=A−B A easy tan^(−1) (z)=(1/(2i))(ln(1−iz)−ln(1+iz)) =−IM∫_0 ^1 ((ln(1+iz)ln(1+z))/(1+z))dz ∫((ln(1+iz))/(1+z))dz,y=1+z =∫((ln(1+i−iy))/y)dy =ln(1+i)ln(y)−Li_2 (((iy)/(1+i))) =ln(1+i)ln(1+z)−Li_2 ((i/(1+i))(1+z)) IBP⇒∫_0 ^1 ((ln(1+iz)ln(1+z))/(1+z))dz=Ω =[ln(1+i)ln^2 (1+z)−ln(1+z)Li_2 ((i/(i+1))(1+z))]_0 ^1 =ln^2 (2)ln(1+i)−ln(2)Li_2 (1+i) −∫_0 ^1 ((ln(1+i)ln(1+z))/(1+z))dz_(=ln(1+i)((ln^2 (2))/2)) +∫_0 ^1 ((Li_2 ((i/(i+1))(1+z)))/(1+z))dz ∫((Li_2 (z))/z)dz=Li_3 (z) Ω=((ln^2 (2))/2)ln(1+i)−ln(2)Li_2 (1+i)+Li_3 (i+1)−Li_3 ((i/(i+1))) we Can give closedForme](https://www.tinkutara.com/question/Q201391.png)
$$\mathrm{xy}=\mathrm{z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ydx}=\mathrm{z} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dzdy}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant\mathrm{z}\leqslant\mathrm{y}\leqslant\mathrm{1}\Leftrightarrow\:\:\:\:\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{z}\leqslant\mathrm{1}\:\:\&\:\mathrm{z}\:\leqslant\mathrm{y}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{z}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dydz}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz}=\mathrm{A}−\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{easy} \\ $$$$\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{iz}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{iz}\right)\right) \\ $$$$=−\mathrm{IM}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{iz}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{iz}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz},\mathrm{y}=\mathrm{1}+\mathrm{z} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}−\mathrm{iy}\right)}{\mathrm{y}}\mathrm{dy} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{iy}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{IBP}\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{iz}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz}=\Omega \\ $$$$=\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right) \\ $$$$−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz}_{=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{z}}\mathrm{dz} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}\right)}{\mathrm{z}}\mathrm{dz}=\mathrm{Li}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\Omega=\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)+\mathrm{Li}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{Can}\:\mathrm{give}\:\mathrm{closedForme} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by MrGHK last updated on 05/Dec/23
$$\boldsymbol{\mathrm{really}}\:\boldsymbol{\mathrm{nice}}\:\boldsymbol{\mathrm{but}}\:\boldsymbol{\mathrm{i}}\:\boldsymbol{\mathrm{used}}\:\boldsymbol{\mathrm{another}}\:\boldsymbol{\mathrm{approach}} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 05/Dec/23
$$\mathrm{share}\:\mathrm{it}\:\mathrm{sir}\:,\:\mathrm{when}\:\mathrm{you}\:\mathrm{have}\:\mathrm{Times} \\ $$
Commented by MrGHK last updated on 05/Dec/23
$${here}\:{it}\:{is} \\ $$